Espaço: Matemática e Física: Regra de três simples inversa

quinta-feira, 2 de janeiro de 2025

Regra de três simples inversa

Na regra de três simples inversa, duas grandezas são inversamente proporcionais. Isso significa que, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção, e vice-versa. Por exemplo, se um carro aumenta sua velocidade, o tempo necessário para percorrer uma determinada distância diminui.

Aqui está a estrutura básica para resolver um problema usando a regra de três simples inversa:

1. Identificar as grandezas: Determine quais são as duas grandezas envolvidas no problema.
2. Estabelecer a relação inversa: Verifique se as grandezas são inversamente proporcionais.
3. Montar a proporção: Configure a proporção inversa, onde o produto das duas grandezas é constante. A fórmula é:

4. Resolver a equação: Encontre o valor desconhecido resolvendo a equação.

Vamos ver um exemplo prático:

Suponha que um carro leva 4 horas para percorrer uma distância a uma velocidade de 60 km/h. Qual será o tempo necessário para percorrer a mesma distância se a velocidade for aumentada para 80 km/h?

Identificar as grandezas:

Tempo (T)
Velocidade (V)

Estabelecer a relação inversa: Tempo e velocidade são inversamente proporcionais.
Montar a proporção:

Tempo(horas) Velocidade(km/h)

4. Resolver a equação:

x = 3 horas

Exercícios

1 – Um trem percorreu uma distância em 2 horas à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, esse trem faria a mesma distância em:
a) 2 horas
b) 3 horas
c) 4 horas
d) 5 horas

2 – Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas torneiras seriam necessárias para encher a mesma piscina em 2 horas?

3 – Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas por dia, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

4 – Um muro foi construído por 8 operários em 30 dias. Quantos dias seriam necessários se fossem utilizados 12 pedreiros?

5 – Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas torneiras seriam necessárias para encher a mesma piscina em 2 horas?

6 – Dois pedreiros constroem um muro em 15 dias. Em quantos dias, três pedreiros construirão o mesmo muro?

7 – (Banco do Brasil) Para assoalhar uma casa foram necessárias 18 dúzias de tábuas de 2 metros e 30 centímetros de comprimento por 10 centímetros de largura. Quantas tábuas seriam necessárias para assolhar a mesma casa, se elas tivessem 1 metro e 80 centímetros de comprimento por 3 decímetros de largura ?

a) 89 b) 90 c) 91 d) 92 e) 93

8 – Maria Márcia tem um salão de festas que aluga para eventos. Ela contratou 4 pessoas que levarem 5 horas para limpá-lo. Se tivesse contratado uma pessoa a mais, em quantas horas eles realizariam o mesmo trabalho, no mesmo ritmo?

a) 3 h b) 4 h c) 5 h d) 2 h

9 – Dois pedreiros trabalhando juntos conseguem construir um certo muro em 6 horas de trabalho. Se ao invés de dois, fossem três pedreiros, em quantas horas tal muro poderia ser construído?

10 – Preciso empilhar uma certa quantidade de caixas em forma de cubo. Se eu fizer a pilha com 4 caixas na base, irei empilhar 6 fileiras de caixas, uma sobre a outra. Se eu fizer a base com 3 caixas, quantas fileiras irei precisar?

11 – A 60 km/h faço o percurso entre duas cidades em duas horas. Trafegando a 80 km/h qual o tempo estimado para percorrer este trajeto?

12 – Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo necessário para enche-lo?

13 – Um tecelão levou 12 horas para produzir um tapete, à razão de 6 metros por hora. Se ele trabalhasse à razão de 9m/h, quanto tempo teria levado para tecer o mesmo tapete?

14 – Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de 12 gotas por minuto. Se o número de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria demorado a aplicação desta mesma medicação?

15 – Utilizando copos descartáveis de 175ml, eu consigo servir 12 pessoas. Se eu utilizar copos de 150 ml, quantas pessoas eu conseguirei servir com este mesmo volume de bebida?

16 – Com o dinheiro que possuo, eu posso comprar 21 passagens de lotação ao custo unitário de R$ 5,40. Eu soube, porém que o valor da passagem está para aumentar para R$ 6,30. No novo valor, quantas passagens eu poderei comprar com a mesma quantia que eu tenho?

17 – À média de 90km/h faço um trajeto em três horas. Para que eu faça este percurso em apenas duas horas, qual deve ser a minha velocidade média?

Respostas:

1 – Resolução:

Horas km/h

• Grandezas inversamente proporcionais:

$\frac{x}{2}=\frac{90}{45}$

45 ∙ x = 2 ∙ 90

45x = 180

$x=\frac{180}{45}$

x = 4

Resposta: 4 horas

2 – Resolução:

Torneiras Horas

• Grandezas inversamente proporcionais:

• Resposta: Seriam necessárias 15 torneiras para encher a piscina.

3 – Resolução:

Horas/dia Dias

• As grandezas horas/dia e dias são inversamente proporcionais:

x = 12,5

Resposta: A equipe fará o mesmo trabalho em 12 dias e meio.

4 – Resolução:

Pedreiros Dias

• As grandezas pedreiros e dias são inversamente proporcionais:

x = 10 dias.

7 – Resolução:

• Vamos calcular as áreas das tábuas:
Comprimento: 2 metros e 30 centímetros = 200 cm + 30 cm = 230 cm
Largura: 10 cm
Área 1:
230 cm ⋅ 10 cm = 2300 cm²

Comprimento: 1 metro e 80 centímetros = 100 cm + 80 cm = 180 cm
Largura: 3 decímetros = 30 cm

Área 2:
180 cm ⋅ 30 cm = 5400 cm²

Dúzias cm²

• As grandezas dúzias e áreas são inversamente proporcionais: Maior área, menos dúzias.

Cálculo do número de dúzias:

• Cálculo do número de tábuas:

• Resposta: Letra D

8 – Resolução:

Pessoas Horas

• Com mais pessoas contratadas, a limpeza do salão seria realizada em menos tempo, logo as

variáveis tem relação inversamente proporcional.

• Multiplicando cruzado:

x = 4 horas.

9 – Resolução:

Pedreiros Horas

• Com mais pedreiros trabalhando, em menos tempo levarão para construir o muro, logo as variáveis tem relação inversamente proporcional.

• Multiplicando cruzado:

x = 4 horas

10 – Resolução:

Caixas na base Caixas nas fileiras

• Com menos caixas na base, teremos que ter mais caixas nas fileiras, logo as variáveis tem relação inversamente proporcional.

• Multiplicando cruzado:

x = 8 caixas nas fileiras.

11 – Resolução:

Velocidade Horas

• Quando a velocidade aumenta, o tempo diminui já que estamos trafegando mais rapidamente, por isto as duas grandezas são inversamente proporcionais.

• Multiplicando cruzado:

x = 1,5

• Resposta: O tempo estimado para percorrer este trajeto será de 1 hora e meia.

12 – Resolução:

Torneiras Horas

• Quando o número de torneiras aumenta, o tempo diminui: grandezas são inversamente proporcionais.

• Multiplicando cruzado:

x = 2 horas.

13 – Resolução:

Horas Metros por hora

• Se o tecelão aumenta a razão metros por hora para produzir um tapete, o tempo para produzir um tapete diminui: grandezas são inversamente proporcionais.

• Multiplicando cruzado:

x = 8 horas.

14 – Resolução:

Horas Gotas por minuto

Quando a velocidade do gotejamento aumenta, o tempo diminui desde que estamos ministrando um volume maior por minuto, percebemos então que as duas grandezas são inversamente proporcionais e na representação, as duas terão a seta com orientação invertida e será preciso que se faça a inversão de termos para torná-las diretamente proporcionais:

• Multiplicando cruzado:

x = 4 horas.

Resposta: Ministrando 18 gotas de medicamento por minuto, o tempo da aplicação teria sido de 4 horas.

15 – Resolução:

Mililítros Pessoas

• Diminuindo o volume dos copos descartáveis, aumentará o número de pessoas a serem servidas.

• Multiplicando cruzado:

x = 14 pessoas

Resposta: Conseguirei servir 14 pessoas.

16 – Resolução:

Passagens Valor

• Quando o preço aumenta da passagem, poderei comprar um número menor de passagens: grandezas são inversamente proporcionais e na representação, as duas terão a seta com orientação invertida e será necessário que se faça a inversão de termos para torná-las diretamente proporcionais: