Fatoração de um trinômio qualquer

A fatoração de trinômios é um conceito essencial na álgebra, útil em muitas áreas da matemática, como resolução de equações quadráticas e simplificação de expressões algébricas. Um trinômio é uma expressão algébrica formada por três termos, geralmente da forma ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes.

Objetivo da fatoração de trinômios: Transformar o trinômio em um produto de dois binômios mais simples, se possível.

Passos básicos para fatorar trinômios:

1. Identificar a Forma do Trinômio:

   • Para trinômios quadráticos na forma ax² + bx + c, onde a ≠ 1, utilize os métodos de fatoração apropriados. Se a = 1, o processo é mais direto.

     x² + (d + e)x + d⋅e = (x + d)⋅(x + e)

2. Encontrar Dois Números:

   • Identificar dois números cuja soma seja igual ao coeficiente b e cujo produto seja igual ao termo constante c.

3. Decomposição:

   • Reescrever o termo do meio usando os dois números encontrados e, em seguida, agrupar os termos para fatorar.

4. Fatoração por Agrupamento:

   • Agrupar termos comuns e fatorar em pares.

Exemplo: Para o trinômio x² + 5x + 6:

1. Encontrar dois números cuja soma seja 5 e produto seja 6 (2 e 3).

2. Reescrever o trinômio: x² + 2x + 3x + 6.

3. Agrupar: x⋅(x + 2) +3⋅(x + 2).

4. Fatorar: (x + 2)⋅(x + 3).

Exercícios

1 – Fatore os trinômios abaixo.

a) x² + 7x + 10

b) x² – 2x –  3

Resolução:

a) x² + 7x + 10 = (x + 2)⋅(x + 5)

d + e = 2 + 5 = 7

d⋅e = 2⋅5 = 10

b) x² – 2x –  3 = (x + 1)⋅(x – 3)

d + e = 1 + (– 3) = 1 – 3 = – 2

d⋅e = 1⋅ (– 3) =  – 3

2 – Fatore a expressão 3x² – 13x – 10.

Resolução:
Fazendo – 13x = – 15x + 2x:
3x² – 13x – 10 = 3x² – 15x + 2x – 10
3x² – 13x – 10 = 3⋅x⋅x – 3⋅5⋅x + 2⋅x – 2⋅5
3x² – 13x – 10 = 3x⋅(x – 5) + 2⋅(x – 5)
3x² – 13x – 10 = (x – 5)⋅(3x + 2)

3 – Fatore o trinômio 2x² + 5x – 12.

Resolução:

2x² + 5x – 12

• Escrevendo 5x como 8x – 3x:
2x² + 5x – 12 = 2x² + 8x – 3x – 12
2x² + 5x – 12 = 2x⋅x + 2x⋅4 – 3x – 3⋅4
2x² + 5x – 12 = 2x⋅(x + 4) – 3⋅(x + 4)

• Colocando (x + 4) em evidência:

2x² + 5x – 12 =  (x + 4)⋅(2x – 3)

4  – Qual é a forma fatorada da expressão 4x² + 14x + 12?

Resolução:
4x² + 14x + 12

• Escrevendo 14x como 8x + 6x:

4x² + 14x + 12 = 4x² + 8x + 6x + 12
4x² + 14x + 12 = 4x.x + 2.4x + 6.x + 2.6
4x² + 14x + 12 = 4x.(x + 2) + 6.(x + 2)
4x² + 14x + 12 = (x + 2).(4x + 6)

5 – Fatore o trinômio x³ – 3x + 2.

Resolução:

x³ – 3x + 2

• Escrevendo – 3x = – x – 2x:

x³ – 3x + 2 = x³ – x – 2x + 2
x³ – 3x + 2 = x⋅(x² –1) –  2⋅(x – 1)
x³ – 3x + 2 = x⋅(x + 1)⋅(x –1) –  2⋅(x – 1)

• Colocando (x – 1) em evidência:

x³ – 3x + 2 = (x – 1)⋅[x⋅(x + 1) – 2]
x³ – 3x + 2 = (x – 1)⋅(x² + x – 2)

• Podemos ainda fatorar x² + x – 2:

x² + x – 2 = x² + 1x – 2
d + e = 2 + (– 1) = 2 – 1 = 1
d⋅e = 2⋅ (– 1) =  – 2
x² + x – 2 = (x + 2)⋅(x –1)

• Substituindo em:

x³ – 3x + 2 = (x – 1)⋅( x² + x – 2)
x³ – 3x + 2 = (x – 1)⋅(x + 2)⋅(x – 1)

x³ – 3x + 2 = (x + 2)⋅(x –1)²

6 – Fatore o trinômio x³ + x² – 12.

Resolução:

x³ + x² – 12

• Fazendo – 12 = – 8 – 4:

x³ + x² – 12 = x³ + x² – 8 – 4
x³ + x² – 12 = x³ + x² – 2³ – 2² 
x³ + x² – 12 =  (x³ – 2³ ) + (x² – 2²)

• Substituindo em:

x³ + x² – 12 =  (x³ – 2³ ) + (x² – 2²)
x³ + x² – 12 = (x – 2)⋅( x² + 2x + 4)+ (x + 2)⋅(x – 2)

• Colocando (x – 2) em evidência:

x³ + x² – 12 = (x – 2)⋅[( x² + 2x + 4) + (x + 2)]
x³ + x² – 12 = (x – 2)⋅( x² + 3x + 6) 

x³ + x² – 12 = (x – 2)⋅( x² + 2x + 4 + x + 2)