Sistema de equações do 1º grau

Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas ou mais equações lineares que compartilham as mesmas incógnitas. A solução de um sistema de equações do 1º grau é o conjunto de valores que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Existem três métodos principais para resolver esses sistemas:

1º) Método da Substituição: 

∗ Isolamos uma das incógnitas em uma das equações.
∗ Substituímos essa expressão na outra equação.
∗ Resolvemos a equação resultante para encontrar o valor de uma das incógnitas.
∗ Substituímos esse valor na primeira equação para encontrar o valor da outra incógnita.

Exemplo:

 Resolver o sistema de equações:

Resolução:

Isolando x em (1):

Substituindo o valor de x em (2)

-2y = 10 -20

-2y = - 10

y = - 10:(- 2)

y = 5

Substituindo o valor de y em (3):

Solução: x = 15 e y = 5.

2º) Método da Adição:

∗ Manipulamos as equações para que uma das incógnitas tenha coeficientes opostos.
∗ Somamos as equações para eliminar uma das incógnitas.
∗ Resolvemos a equação resultante para encontrar o valor de uma das incógnitas.
∗ Substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar o valor da outra incógnita.

Exemplo:

resolva o sistema de equações:

Resolução:

Vamos multiplicar a segunda equação por (– 1):

Adicionando os termos:

Substituindo o valor de x na primeira equação:

Solução : x = 6 e y = 5

3º) Método da comparação:

∗ Isolamos a mesma incógnita em ambas as equações e, em seguida, 

∗ Igualamos as expressões obtidas.

∗ Resolvemos a equação resultante para encontrar o valor de uma das incógnitas.

∗ Substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar o valor da outra incógnita.

Exemplo:

Resolva o sistema de equações:

Resolução:

Isolando x na equação (1):

Isolando x na equação (2):

Comparando os valores de x:

Substituindo o valor de y em:

Solução: x = 4 e y = 3.

Sistemas de equações do 1º grau: Método da comparação

1 - Resolver o sistema de equações, abaixo, pelo método da comparação:

Resolução:

Isolando x na equação (1):

Isolando x na equação (2):

Comparando os valores de x:

Substituindo o valor de y em:

Solução: x = − 4 e y = 9. 

2 - Resolva o sistema de equações:

Resolução:

Isolando x na equação (1):

Isolando x na equação (2):

Comparando os valores de x:

Substituindo o valor de y em:

Solução: x =  4 e y = 3. 

3 - Gabriela sacou R$ 90,00 em um caixa eletrônico. Essa quantia era composta apenas por cédulas de 10 e 2 reais, e um total de 21 cédulas. Quantas notas de10 reais Gabriela sacou?

Resolução:

Notas de 2 reais: x

Notas de 10 reais: y

Vamos resolver o sistema de equações:

Isolando y na equação (1):

Isolando y na equação (2):

Comparando os valores de y:

Substituindo o valor de x em:

Gabriela sacou 15 notas de 10 reais.

4 - Resolver o sistema de equações:

Resolução:

Multiplicando cruzado cada equação:

Comparando (1) e (2):

Substituindo o valor de y em (2):

Solução: x = 18 e y = 16.

Problemas com sistema de equações do 1º grau

 1 - A distância do ponto A ao ponto B é 29 cm. Sabendo que x – y = 6,5, qual é o valor de y?

Resolução:
3x + y + 2x + y = 29
5x + 2y = 29
Resolvendo o sistema de equações:

Isolando x em (2):

x = 6,5 + y

Substituindo o valor de x em (1):

2 - A soma de um número mais a metade de outro é igual a 18. Sabe-se que o primeiro é o dobro do segundo. Quais são esses números?

Resolução:

Primeiramente vamos escrever o sistema que representa o problema:

Substituindo (2) em (1): 

Substituindo y em (2):

Resposta: Estes números são 7,2 e 14,4.

3 - A soma de um número x com o dobro de um número y é – 7; e a diferença entre o triplo desse número x e número y é igual a 7. Sendo assim, determine: 

a) os valores de x e y; 

b) o valor do produto de x e y. 

Resolução: 

a) Primeiramente vamos escrever o sistema de equações que representa esse problema:

Isolando x em (1):

Substituindo o valor de x em (2):

Substituindo o valor de y em (3):

Resposta: x = 1 e y = - 4 

4 - Um senhor tem coelhos e galinhas num total de 20 cabeças e 58 pés. Determine o número de coelhos e de galinhas.

Coelhos: x 

Galinhas: y

Isolando y na equação (1):

Substituindo (3) em (2):

Substituindo x = 9 em (3):

Resposta: Este senhor tem 9 coelhos e 11 galinhas.

5 - Num estacionamento há 14 veículo entre carros e motos, total de 48 rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?

Resolução:

Motos: x

Carros: y

Veículos: x + y = 14

Números de rodas: 2x + 4y = 48

Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição:

Isolando x em (1):

x = 14 – y  (3)

Substituindo o valor de x em (2):

Substituindo o valor de y em (3):

Resposta: Há nesse estacionamento 10 carros e 4 motos.