Fórmula de Euler

 A Fórmula de Euler é uma das mais elegantes e surpreendentes da matemática, conhecida por sua profundidade e simplicidade. Ela é expressa como:

          e^i⋅π + 1 = 0

Esta fórmula relaciona cinco dos números mais importantes da matemática: e, i, π, 1 e 0. Cada um desses números tem um significado profundo:

• e: A base dos logaritmos naturais, fundamental no cálculo e nas equações diferenciais.
• i: A unidade imaginária, onde i² = – 1, essencial na análise complexa.
• π: A razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro, onipresente em geometria e trigonometria.
•  1: A identidade multiplicativa.
• 0: A identidade aditiva.

A fórmula de Euler é derivada da série de Taylor da função exponencial complexa e revela uma conexão profunda entre funções trigonométricas e exponenciais. Ela é frequentemente vista como uma ponte entre diferentes áreas da matemática, como álgebra, análise e geometria.

Para entender a fórmula, é importante ter familiaridade com:

1. Números Complexos: Compreender a unidade imaginária i e como os números complexos são representados.

        2. Funções Exponenciais e Logarítmicas: Conhecer o comportamento e as propriedades da função exponencial e^x.

3. Trigonometria: Saber como as funções seno e cosseno se comportam e suas séries de Taylor.

Exercícios

1 - Resolva a equação exponencial:

1^x = 2

Resolução:

Escrevendo a fórmula de Euler:
e^iθ= cos(θ) + i·sen(θ) 

Para θ = 0:

Multiplicado i no numerador e no denominador:

2 - Use a fórmula de Euler e as regras para cálculo de produto e potências de números complexos para calcular sen(a + b).

Resolução:

Escrevendo a fórmula de Euler:
e^iθ = cos(θ) + i sen(θ) 

Aplicando a fórmula de Euler para (a + b), substituímos θ por (a + b) na fórmula de Euler:

e^i(a+b) = cos(a + b) + i sen(a + b)   (1)

Utilizando a propriedade do produto de potências:
e^x+y = e^x · e^y

Podemos escrever:

e^i(a+b) = e^ia · e^ib 

Aplicando a fórmula de Euler aos fatores:
e^ia = cos(a) + i sen(a)

e^ib = cos(b) + i sen(b) 

Multiplicando os números complexos
(cos(a) + i sen(a)) · (cos(b) + i sen(b)) =

(cos(a) · cos(b) - sen(a) · sen(b)) + i (cos(a) · sen(b) + sen(a) · cos(b))   (2)

Igualando as expressões (2) e (1):

cos(a + b) + i sen(a + b)

= (cos(a) · cos(b) − sen(a) · sen(b)) + i (cos(a) · sen(b) + sen(a)cos· (b))

Isolando sen(a + b):
Como os números complexos são iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais. A parte imaginária nos dá a identidade desejada: 

sen(a + b) = cos(a)sen(b) + sen(a)cos(b)

3 - Use a fórmula de Euler e as regras para cálculo de produto e potências de números complexos para calcular cos(a + b).

Escrevendo a fórmula de Euler:
e^iθ = cos(θ) + i sen(θ) 

Substituindo 𝑥 por (𝑎+𝑏), temos: 

• Fórmula e identidade de Euler (vídeo) - Khan Academy

A fórmula de Euler é eⁱˣ=cos(x)+i⋅sen(x), e a identidade de Euler é e^(iπ)+1=0. Veja como elas são obtidas a partir da série de Ma...

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Khan Academy

𝑒^{𝑖(𝑎+𝑏)} = cos(𝑎 + 𝑏) + 𝑖sen(𝑎 + 𝑏)     (1)

Utilizando a regra de potências para números complexos:

e^{x + y} = e^x · e^y

Aplicando essa regra, podemos reescrever o lado esquerdo da equação como: 

e^{i(a + b)} = e^ia · e^ib

Substituindo as expressões de Euler, obtemos a seguinte equivalência:

𝑒^𝑖𝑎 ⋅ 𝑒^𝑖𝑏 = (cos(𝑎) + 𝑖 sen(𝑎)) ⋅ (cos(𝑏) + 𝑖 sen(𝑏))

Desenvolvendo o produto:

(cos(a) + i sen(a)) · (cos(b) + i sen(b))

cos(a)cos(b) + i cos(a)sen(b) + i sen(a)cos(b) + i² sen(a)sen(b)

Como i² = − 1, a expressão torna-se:

cos(a) cos(b) + i cos(a) sen(b) + i sen(a) cos(b) − sen(a) sen(b)

Agrupando a parte real e a parte imaginária:

(cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b)) + i(sen(a)cos(b) + cos(a) sen(b))    (2)

Igualando as expressões (2) e (1):

Como os números complexos são iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais. A parte imaginária nos dá a identidade desejada: 

cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b) 

4 - Use a fórmula de Euler e as regras para cálculo de produto e potências de números complexos para calcular sen(3a) em função de sen e cos de a e b.

Resolução:

Aplicando da Fórmula de Euler:

e^iθ = cos(θ) + i sen(θ) 

Substituindo θ por 3a:

e^i3a = cos(3a) + i sen(3a)

Utilizando a propriedade de potência:

a^xy = (a^x)^y

A expressão e^i3a pode ser reescrita como (e^ia)³

Assim:

(e^ia)³ = (cos(a) + i sen(a))³

A potência (cos(a) + i sen(a))³ é desenvolvida usando a fórmula do cubo de um binômio:

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Assim, obtém-se:
(cos(a))³ + 3(cos(a))²(isen(a)) + 3(cos(a))(isen(a))² + (isen(a))³

Simplificando essa expressão, fazendo i² = −1 e i³ = − i, teremos:

cos³(𝑎) + 3𝑖 cos²(𝑎)sen(𝑎) − 3cos(𝑎)sen²(𝑎) – 𝑖 sen³(𝑎)

Agrupamento das Partes Real e Imaginária:

(cos³(a) − 3cos(a)sen²(a)) + i(3cos²(a)sen(a) − sen³(a))

Comparação com a Fórmula de Euler para 3a:

A parte imaginária da expressão obtida é comparada com a parte imaginária de

e^i3a = cos(3a) + i sen(3a)

Portanto, sen(3a) é igual à parte imaginária da expressão expandida.

Expressão de sen(3a) em termos de sen(a) e cos(a):

A expressão para sen(3a) é dada por:
sen(3a) = 3cos²(a)sen(a) − sen³(a)

Substituindo cos²(a), usando a identidade trigonométrica cos²(a) = 1− sen²(a) para expressar sen(3a) apenas em termos de sen(a):
sen(3a) = 3(1 − sen²(a))sen(a) − sen³(a)

sen(3a) = (3 − 3sen²(a))sen(a) − sen³(a)

sen(3a) = 3sen(a) − 3sen³(a) − sen³(a)

Logo:

sen(3a) = 3sen(a) − 4sen³(a)

5 - Use a fórmula de Euler e as regras para cálculo de produto e potências de números complexos para calcular cos(3a) em função de sen e cos de a e b.

Resolução:

Aplicando da Fórmula de Euler:

e^iθ = cos(θ) + i sen(θ) 

Substituindo θ por 3a:

e^i3a = cos(3a) + i sen(3a)

Utilização da Propriedade de Potência:

A expressão e^i3a pode ser reescrita como (e^ia)³

Expandindo a potência:

(e^ia)³ = (cos(a) + i sen(a))³

O binômio (cos(a) + i sen(a))³ será desenvolvido usando a fórmula do cubo de um binômio:

(x + y)³ =x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Assim, obtém-se:
(cos(a))³ + 3(cos(a))²(isen(a)) + 3(cos(a))(isen(a))² + (isen(a))³

Simplificando essa expressão, fazendo i² = −1 e i³ = − i, teremos:

cos³(𝑎) + 3𝑖 cos²(𝑎)sen(𝑎) − 3cos(𝑎)sen²(𝑎) – 𝑖 sen³(𝑎)

Agrupamento das Partes Real e Imaginária:

(cos³(a) − 3cos(a)sen²(a)) + i(3cos²(a)sen(a) − sen³(a))

Comparação com a Fórmula de Euler para 3a:

A parte imaginária da expressão obtida é comparada com a parte imaginária de

e^i3a = cos(3a) + i sen(3a)

Portanto, cos(3a) é igual à parte real da expressão expandida.

Expressão de cos(3a) em termos de sen(a) e cos(a):

A expressão para cos(3a) é dada por:
cos(3a)  = cos³(a) − 3cos(a)sen²(a)

Substituindo sen²(a), usando a identidade trigonométrica sen²(a) = 1− cos²(a) para expressar cos(3a) apenas em termos de cos(a):
cos(3a) = cos³(a) − 3cos(a)sen²(a)

cos(3a) = cos³(a) − 3cos(a)(1− cos²(a))

cos(3a) = cos³(a) − 3cos(a) + 3cos³(a)

Logo:
cos(3a) = 4cos³(a) – 3cos(a)