Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é um dos pilares da dinâmica dos fluidos, descrevendo a conservação de energia em um fluido em movimento. Foi formulada pelo matemático e físico suíço Daniel Bernoulli no século XVIII.

Conceito Principal

A equação de Bernoulli estabelece que, ao longo de uma linha de corrente, a soma da pressão, da energia cinética e da energia potencial do fluido permanece constante, desde que não haja efeitos como atrito ou adição de energia externa.

Expressão Matemática

A equação pode ser escrita como:

Onde:

( p ) é a pressão do fluido;

( ρ) é a densidade do fluido;

( v ) é a velocidade do fluido;

( g ) é a aceleração da gravidade;

( h ) é a altura do fluido em relação a um referencial.

Essa equação significa que, se a velocidade de um fluido aumenta, sua pressão diminui, e vice-versa. Esse princípio é fundamental para entender fenômenos como o efeito Venturi e a sustentação em asas de aviões.

Aplicações da Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é usada em diversas áreas, como:

• Aerodinâmica (explicação da força de sustentação em asas de aviões);
• Hidrodinâmica (cálculo do fluxo de água em tubulações e canais);
• Medicina (estudo do fluxo sanguíneo nos vasos);
• Engenharia (projetos de sistemas de ventilação e turbinas).

Exercícios

1 - A figura mostra um esquema de captação de água para uma usina hidrelétrica. Mais à direita, um detalhe da saída do tubo no gerador quando a água já passou pela turbina. Sabendo que a diferença de pressão Δp = p₁ – p₂ = 2,560 atm, que d₁/d₂ = 4, A_E = 2A₁ = 0,3870 m², D = 180 m e p_Ent = 2,00 atm,  determine (respostas com 3 algarismos significativos e em notação científica):

a. A velocidade de escoamento v₁.

b. Considere agora que a altura do espelho de água do reservatório em relação a entrada do tubo seja constante ao longo de um dia. Determine o volume total escoado pela usina em 24 horas.

c. Determine a profundidade do tubo de entrada de água em relação a superfície de água no reservatório quando não há escoamento de água pela tubulação da turbina. Neste regime, a pressão na altura do tubo de entrada vale p_Ent =2,00 atm.  

Resolução:

Δp = p₁ – p₂ = 2,560 atm

d₁/d₂ = 4

A_E = 2A₁ = 0,3870 m²

D = 180 m 

p_Ent = 2,00 atm

Cálculo da área da seção transversal na entrada (A₁):

A_E = 2A₁ = 0,3870 m²

A₁ = 0,1935 m²

2 - Em um grande reservatório de água, a entrada da tubulação (veja na figura) tem uma seção reta de 0,600 m² e a velocidade da água é 0,400 m/s. A água desce gradualmente pelo tubo e na saída, a uma profundidade D = 160 m abaixo da entrada, a seção reta é 20 vezes menor.

(a) Calcule a velocidade da água na saída.

(b) Calcule a diferença de pressão entre a entrada e a saída.

Resolução:

a) A₁ = 0,600 m²

v₁ = 0,400 m/s

D = 160 m

Área da seção reta na saída:

A₂ = 0,030 m²

Velocidade da água na saída, usando a equação da continuidade:

p₁ − p₂= 500⋅(64 – 0,16) + 9 800⋅(– 160)

p₁ − p₂= 500⋅63,84 – 1 568 000

p₁ − p₂ = 31 920 – 1 536 080

p₁ − p₂ = − 1 536 080

p₁ − p₂ = − 1,54⋅10⁶ Pa

Equação de Bernoulli

Posted: 19 Oct 2018 07:48 PM PDT

Na postagem a seguir vamos estudar uma equação de grande importância para as questões de hidráulica, que é a Equação de Bernoulli. Serão apresentadas as condições necessárias para que a equação possa ser aplicada, assim como uma explicação detalhada sobre os termos utilizados.

A equação leva este nome em homenagem ao autor que a publicou, Daniel Bernoulli. Este foi um excelente físico suíço que desenvolveu suas equações ao longo do século XVIII, que até os dias atuais são referências e muito utilizadas no ramo da mecânica dos fluidos.

A Equação de Bernoulli é aplicada para descrever o comportamento de um fluido ao longo de um escoamento qualquer, que pode envolver elevações diferentes ou mudanças de área, que implicarão na velocidade do escoamento estudado. Para dar início ao estudo da equação, vamos considerar a seguinte situação de escoamento:

Note que o escoamento demonstrado possui as variações que são cobertas pela equação, tais como a diferença entre alturas h₁ e h₂, além da diferença dimensional entre as áreas A₁ e A₂, resultando em velocidades diferentes v₁ e v₂ e também diferentes pressões nas seções de análise, p₁ e p₂.

Para a obtenção da equação de Bernoulli são necessárias algumas considerações. Estas considerações servem para delimitar as condições principais para o escoamento, uma vez que uma grande gama de variáveis pode aumentar consideravelmente a complexidade do problema, sem apresentar um ganho de precisão relevante. Deste modo, vamos considerar as seguintes situações:

1. Escoamento incompressível: Para um escoamento incompressível, as propriedades do fluido se mantêm constantes durante todo o escoamento. Assim, a densidade do fluido escoante será a mesma para ambos os pontos.
2. Ausência das forças de viscosidade: Essa consideração descarta as forças provindas da viscosidade do fluido, principalmente as forças de atrito entre o fluido e a parede, que causariam um aumento na complexidade do problema para incluir forças que não serão relevantes.
3. Escoamento irrotacional: A consideração de escoamento irrotacional implica na ausência de rotação do fluido tanto na entrada e saída como ao longo do escoamento. Esta consideração é importante pois a presença de um movimento de rotação do escoamento dificultaria (e muito!) a modelagem das equações.
4. Escoamento linear: Como consequência das considerações anteriores, quando retiramos o efeito da viscosidade, aliado a ausência de rotação no escoamento, temos uma velocidade uniforme ao longo do tubo. Note que a velocidade não é igual para o tubo, é igual apenas ao longo de uma seção transversal do escoamento!
Com isso, podemos escrever a equação de Bernoulli através da energia mecânica entre os pontos 1 e 2, dadas por:

Sabemos também que a diferença entre as energias pode ser escrita como a multiplicação do volume do fluido, que chamaremos V, pela diferença de pressão no escoamento

Então:

Ainda podemos escrever a massa como sendo:

E substituindo novamente:

Como o volume é comum a todos os termos, pode ser retirado, e reagrupando:


Que é a equação de Bernoulli como conhecemos. Esta equação é considerada a principal equação da mecânica dos fluidos e explica diversos fenômenos presentes em nossas vidas. Estudar essa equação é um passo fundamental para compreender os fenômenos da mecânica dos fluidos.