Equação de Bernoulli

Posted: 19 Oct 2018 07:48 PM PDT

Na postagem a seguir vamos estudar uma equação de grande importância para as questões de hidráulica, que é a Equação de Bernoulli. Serão apresentadas as condições necessárias para que a equação possa ser aplicada, assim como uma explicação detalhada sobre os termos utilizados.

A equação leva este nome em homenagem ao autor que a publicou, Daniel Bernoulli. Este foi um excelente físico suíço que desenvolveu suas equações ao longo do século XVIII, que até os dias atuais são referências e muito utilizadas no ramo da mecânica dos fluidos.

A Equação de Bernoulli é aplicada para descrever o comportamento de um fluido ao longo de um escoamento qualquer, que pode envolver elevações diferentes ou mudanças de área, que implicarão na velocidade do escoamento estudado. Para dar início ao estudo da equação, vamos considerar a seguinte situação de escoamento:

Note que o escoamento demonstrado possui as variações que são cobertas pela equação, tais como a diferença entre alturas h₁ e h₂, além da diferença dimensional entre as áreas A₁ e A₂, resultando em velocidades diferentes v₁ e v₂ e também diferentes pressões nas seções de análise, p₁ e p₂.

Para a obtenção da equação de Bernoulli são necessárias algumas considerações. Estas considerações servem para delimitar as condições principais para o escoamento, uma vez que uma grande gama de variáveis pode aumentar consideravelmente a complexidade do problema, sem apresentar um ganho de precisão relevante. Deste modo, vamos considerar as seguintes situações:

1. Escoamento incompressível: Para um escoamento incompressível, as propriedades do fluido se mantêm constantes durante todo o escoamento. Assim, a densidade do fluido escoante será a mesma para ambos os pontos.
2. Ausência das forças de viscosidade: Essa consideração descarta as forças provindas da viscosidade do fluido, principalmente as forças de atrito entre o fluido e a parede, que causariam um aumento na complexidade do problema para incluir forças que não serão relevantes.
3. Escoamento irrotacional: A consideração de escoamento irrotacional implica na ausência de rotação do fluido tanto na entrada e saída como ao longo do escoamento. Esta consideração é importante pois a presença de um movimento de rotação do escoamento dificultaria (e muito!) a modelagem das equações.
4. Escoamento linear: Como consequência das considerações anteriores, quando retiramos o efeito da viscosidade, aliado a ausência de rotação no escoamento, temos uma velocidade uniforme ao longo do tubo. Note que a velocidade não é igual para o tubo, é igual apenas ao longo de uma seção transversal do escoamento!
Com isso, podemos escrever a equação de Bernoulli através da energia mecânica entre os pontos 1 e 2, dadas por:

Sabemos também que a diferença entre as energias pode ser escrita como a multiplicação do volume do fluido, que chamaremos V, pela diferença de pressão no escoamento

Então:

Ainda podemos escrever a massa como sendo:

E substituindo novamente:

Como o volume é comum a todos os termos, pode ser retirado, e reagrupando:


Que é a equação de Bernoulli como conhecemos. Esta equação é considerada a principal equação da mecânica dos fluidos e explica diversos fenômenos presentes em nossas vidas. Estudar essa equação é um passo fundamental para compreender os fenômenos da mecânica dos fluidos.