Regra do quociente das derivadas

A regra do quociente é uma ferramenta extremamente útil no cálculo diferencial, usada para encontrar a derivada de uma função que é o quociente de duas outras funções diferenciáveis. Vamos dizer que temos duas funções u(x) e v(x), e queremos achar a derivada da função u(x) /v(x). A regra do quociente é dada por:

Ou seja, a derivada do quociente u(x) /v(x) é igual ao denominador v multiplicado pela derivada do numerador u′, menos o numerador u multiplicado pela derivada do denominador v′, tudo isso dividido pelo quadrado do denominador v².

Para visualizar isso melhor, vamos considerar um exemplo concreto. Suponha que derivar a função:

Vamos fazer:

Aplicando a regra do quociente, temos:

Simplificando:

Exercícios

1 - Determine a derivada da função:

Resolução:

Vamos fazer:

Usando a regra do quociente das derivadas:

Colocando x³ em evidência:

2 - Calcular a derivada da função:

Resolução:

Vamos fazer:

Usando a regra do quociente das derivadas:

Colocando x² em evidência:

Derivada

A derivada de uma função descreve a taxa de variação instantânea da função em um certo ponto. Outra interpretação comum é que a derivada nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em um ponto.

Definição de derivada de uma função f(x):

Derivadas de funções elementares:

Exercícios:

1 - Calcule a derivada das seguintes funções:

Resolução:

2 - Calcular a derivada de f(x) = x², usando a definição.

Resolução:

 

3 - Calcular a derivada da função f(x) = sen(x), usando a definição.

Resolução:

Lembrando que:

Colocando Sen(x) em evidência:

Separando em dois limites:

Multiplicando a primeira parte do limite, o numerador e o denominador, pelo fator racionalizante:

Usando o produto da soma pela diferença:

Usando identidade de Pitágoras:

Lembrando que:

Substituindo esse valor em: