Função exponencial

Uma função exponencial é uma função matemática da forma f(x) = a⋅b^x, onde:

• a é uma constante diferente de zero,
• b é a base (um número real positivo diferente de 1),
• x é o expoente (a variável independente).

Características Principais:

1. Crescimento Rápido: As funções exponenciais crescem (ou decrescem) muito mais rápido que as funções lineares ou polinomiais.
2. Domínio e Imagem:
• O domínio da função exponencial é todos os números reais ℝ.
• A imagem (ou contradomínio) é o conjunto dos números reais positivos (0, ∞) quando a base b é maior que 1, e (0, ∞) quando 0 < b < 1.
3. Assíntota Horizontal: A reta y = 0 (o eixo x) é uma assíntota horizontal para a função exponencial, indicando que a função se aproxima de zero mas nunca o toca.
4. Passagem pela Origem: Para f(x) = b^x, a função passa pelo ponto (0, 1), porque qualquer número positivo elevado a zero é 1.

Exemplo Prático:

Imagine uma população de bactérias que dobra de quantidade a cada hora. Se começamos com 1 bactéria, após 1 hora teremos 2 bactérias, após 2 horas teremos 4, após 3 horas teremos 8, e assim por diante. Este é um exemplo clássico de crescimento exponencial, que pode ser modelado pela função f(x) = 2^x.  

      

Exercícios

1 - Observe o expoente e verifique quais das sentenças dadas correspondem à lei de uma função exponencial.

Resolução: 

• Apenas a opção (c) não corresponde à lei de uma função exponencial, pois a variável não está no expoente.

2 - Numa certa cultura de bactérias o número delas y cresce segundo a lei y = 20 ⋅ 3^x na qual x representa o tempo em horas. Após quantas horas o número de bactérias será 1620?

Resolução:

y = 20 ⋅ 3^x

• Fazendo y = 1620:

1620 = 20 ⋅ 3^x

81 = 3^x

3⋅3⋅3⋅3 = 3^x

3⁴ = 3^x

x = 4 horas

3 - (CONED – 2016 – Sesc – PA) Qual a soma das raízes ou zeros da função exponencial abaixo?  

f(x) = 2^2x-3 – 3⋅2^x-1 + 4
a) 5          b) 4          c) 6          d) 8          e) – 6

Resolução:

• Para encontrar as raízes ou zeros da função, vamos fazer f(x) = 0:

2^{2x - 3} – 3⋅2^{x -1} + 4 = 0

• Multiplicando por 8 ambos os membros da equação:

• Simplificando a equação:

 2^2x – 12⋅2^x + 32 = 0

• Trocando a ordem dos expoentes:

(2^x)² – 12⋅2^x + 32 = 0

Fazendo y = 2^x:

y² – 12y + 32 = 0

• Usando a fórmula de Bhaskara:

a = 1,      b = – 12    e   c = 32

• Como y = 2^x:

y₁ = 8

8 = 2^x    ⇒   2³ = 2^x    ∴   x = 3

ou

y₂ = 4

4 = 2^x    ⇒   2² = 2^x    ∴   x = 2

• Logo, a soma das raízes é 3 + 2 = 5

• Resposta: Letra A 

4 – Considere a função 

de lei f(x) = 2^x + 1. Determine:

a)) f(1)

b) f(– 3)

c) x quando f(x) = 17

Resolução:

a) f(x) = 2^x + 1

f(1) = 2¹ + 1 = 2 + 1 = 3

b) f(x) = 2^x + 1

f(– 3) = 2^–3 + 1

c) f(x) = 17

 f(x) = 2^x + 1

2^x + 1 = 17     ⇒     2^x = 17 – 1  ⇒    2^x = 16

2^x  =2⋅2⋅2⋅2   ⇒   2^x  = 2⁴   ∴    x = 4

5 – Determinar a lei de formação da função f(x) da figura.

          

Resolução:

• A curva intercepta o eixo y em 2.

• Para x = 1, y = 4.

• Escolhendo dois pontos do gráfico, temos (0,2) e (1,4).

• Em (0,2) temos x = 0 e y = 2:

y = a⋅b^x

2 = a⋅b⁰

2 = a⋅1   ⇒    a = 2

• Em (1, 4) temos x = 1 e y = 4:

y = a⋅b^x

4 = a⋅b¹

4 = a⋅b   ⇒    4 = a⋅2   ⇒   a = 2

• Substituindo a = 2 e b = 2, temos:

f(x) = 2⋅2^x

Equação exponencial

Uma equação exponencial é uma expressão algébrica que possui uma igualdade e pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes.

Exemplos de equações exponenciais:

Para resolver uma equação exponencial, uma das propriedades de potências mais usadas é: Dadas duas potências iguais, se a base de cada potência for a mesma, então, o expoente será igual.

Exercícios

1 – Resolva a equação exponencial 3^{x - 2} = 9 e assinale a resposta correta

a) 4

b) 2

c) – 4

d) 0

2 – Qual é o valor de x, na equação 9^x + 9^{x + 1} = 270?

3 – Qual o valor de “b” na equação abaixo?

4 – Resolva a equação exponencial:

5 – Resolva a equação:

6 – Determine o valor de x na equação abaixo.

7 – Resolva a equação:

8 – Resolva a equação:

9 - Qual é o valor de x na equação 4^{x – 2} = 40?

10 – Resolva a equação exponencial:

11 – Resolva a equação exponencial:

12 – Resolva a equação exponencial:

13 – Resolva a equação 7^x +7^2x +7^3x = 14, com x ∈ IR.

14 –  Resolva a equação 2^x + 2^3x  = 10.

15 –  Resolva a equação exponencial:

16 – Calcule o valor de x na equação exponencial 3^x = x⁹.

17 – Resolva a equação exponencial:  

 18 – Resolva a equação exponencial 1^X = 2:

19 – Calcule o valor de n equação exponencial 3ⁿ – 2ⁿ = 65.

20 – Qual é o valor de x na equação x^x = 2²⁰⁴⁸?

a) 0          b) 40           c) 128           d) 256

 

Resposta:

1 – Resolução:

3^{x - 2} = 9

3^{x - 2} = 3⋅3

3^{x - 2} = 3²

• Logo: 

x – 2 = 2

x = 2 + 2

x = 4

2 – Resolução:

9^x + 9^{x + 1} = 270

1⋅9^x + 9^x⋅ 9¹ = 270

1⋅9^x + 9^x⋅ 9 = 270

9^x⋅(1 +  9) = 270

9^x⋅10 = 270

3 – Resolução:

4 – Resolução:

5 – Resolução:

6 – Resolução:

7 – Resolução:

• Elevando ambos os membros da equação por x:

• Fatorando o número 256: 

8 – Resolução:

• Elevando os dois membros da equação por 8:

9 - Resolução:

4^{x – 2} = 40

• Aplicado o logaritmo aos dois membros da equação:

• Aplicando a propriedade:

• Dividindo por log 4 a equação:

• Aplicando a propriedade:

• Aplicando a propriedade:

10 – Resolução:

• Fazendo:

• Usando a fórmula de Bhaskara:

ou

Valor negativo não convém.

• Como:

• Vamos ter:

• Usando a definição de logaritmo, teremos:

11 – Resolução:

• Fatorando 125:

• Usando a fórmula de Bhaskara:

• Solução: {2, – 1}

12 – Resolução:

• Calculando o logaritmo nos dois membros da equação:

• Usando a propriedade:

• Usando a propriedade:

• Usando a propriedade:

• Usando a propriedade:

13 – Resolução:

7^x +7^2x +7^3x = 14

7^x +(7^x)² +(7^x)³ = 14

• Fazendo 7^x = z:

z + z² + z³ = 14

z + z² + z³ – 14 = 0

• Fazendo 14 = 2 + 4 + 8 = 2 +2² + 2³:

z + z² + z³ – (2 + 4 + 8) = 0

z – 2 + z² – 4 + z³ – 8 = 0

z – 2 + z² – 2² + z³ – 2³ = 0

(z – 2) + (z² – 2²) + (z³ – 2³) = 0

• Usando as fatorações de polinômios:

e

(z – 2) + (z + 2)⋅(z – 2) + (z – 2)⋅(z² +z⋅2 + 2²) = 0

1⋅(z – 2) + (z + 2)⋅ (z – 2) + (z – 2)⋅(z² + 2z + 4) = 0

• Colocando z – 2 em evidência:

(z – 2)⋅[1+ (z + 2) + (z² + 2z + 4)] = 0

(z – 2)⋅(1+ z + 2 + z² + 2z + 4) = 0

(z – 2)⋅( z² + 3z + 7) = 0

z – 2 = 0  ⇒ z = 2

e

z² + 3z + 7 = 0

• Usando a fórmula de Bhaskara:

• Como z₁ e z₂ são números complexos, vamos usar apenas z = 2 real:

• Aplicando logaritmo nos dois membros da equação:

log 7^x = log 2

x⋅log 7 = log 2

• Usando a expressão de mudança de base:

• Logo:

14 – Resolução:

2^x + 2^3x  = 10

2^x + (2^x)³  = 10

• Fazendo 2^x = y:

y + y³ = 10

y + y³ – (2 + 8) = 0

y + y³ – 2 – 8 = 0

y – 2 + y³ – 8 = 0

y – 2 + y³ – 2⋅2⋅2 = 0

(y – 2) + (y³ – 2³) = 0

y³ – 2³ = (y – 2)⋅•( y² + y2 + 2²)

             = (y – 2)⋅( y² + 2y + 4)

• Substituindo em:

(y – 2) + (y³ – 2³) = 0

(y – 2) + (y – 2)⋅( y² + 2y + 4) = 0

(y – 2).1 + (y – 2)⋅( y² + 2y + 4) = 0

• Colocando (y – 2) em evidência:

(y – 2)⋅[1 + ( y² + 2y + 4)] = 0

(y – 2)⋅[1 +  y² + 2y + 4] = 0

(y – 2)⋅( y² + 2y + 5) = 0

∴ y – 2 = 0  ⇾  y = 2

ou

y² + 2y + 5 = 0

• Usando a fórmula de Bhaskara:

• Como 2^x = y  e  y = 2:

2^x = 2   ⇾   2^x = 2¹  ∴ x = 1

• Como 2^x = y:

e 

• Aplicado o logaritmo aos dois membros da equação:

• Aplicando a propriedade:

• Dividindo por log 2 a equação:

• Aplicando a propriedade:

• Solução:

15 – Resolução:

• Colocando 2^x em evidência:

• Trocando a ordem do expoente:

• Usando a propriedade de fatoração:

16 – Resolução:

3^x = x⁹

• Elevando ambos os membros da equação por1/9:

• Elevando ambos os membros da equação por1/x:

• Elevando o primeiro membro da equação por 3 e por 1/3:

• Trocando a ordem dos expoentes:

17 – Resolução:

• Lembrando que:

• Fazendo:

• Usando a fórmula de Bhaskara:

• Para y = 1:                Para y = 10:

 18 – Resolução:

   1^X = 2

• Usando a fórmula de Euler:

19 – Resolução:

Vamos fazer:

x + y = 13  (1)

e

x – y = 5  (2)

Isolando x em (1):

x = 13 – y   (3)

Substituindo x em (2):

x – y = 5 

(13 – y) – y = 5 

13 – y – y = 5

 – y – y = 5 – 13 

– 2 y = – 8

y = 4

Substituindo y em (3):

x = 13 – y   

x = 13 – 4 = 9

x = 9

Substituindo x e y em:

   Logo: n = 4

20 – Resolução: