Equação exponencial

Uma equação exponencial é uma expressão algébrica que possui uma igualdade e pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes.

Exemplos de equações exponenciais:

Para resolver uma equação exponencial, uma das propriedades de potências mais usadas é: Dadas duas potências iguais, se a base de cada potência for a mesma, então, o expoente será igual.

Exercícios

1 – Resolva a equação exponencial 3^{x - 2} = 9 e assinale a resposta correta

a) 4

b) 2

c) – 4

d) 0

2 – Qual é o valor de x, na equação 9^x + 9^{x + 1} = 270?

3 – Qual o valor de “b” na equação abaixo?

4 – Resolva a equação exponencial:

5 – Resolva a equação:

6 – Determine o valor de x na equação abaixo.

7 – Resolva a equação:

8 – Resolva a equação:

9 - Qual é o valor de x na equação 4^{x – 2} = 40?

10 – Resolva a equação exponencial:

11 – Resolva a equação exponencial:

12 – Resolva a equação exponencial:

13 – Resolva a equação 7^x +7^2x +7^3x = 14, com x ∈ IR.

14 –  Resolva a equação 2^x + 2^3x  = 10.

15 –  Resolva a equação exponencial:

16 – Calcule o valor de x na equação exponencial 3^x = x⁹.

17 – Resolva a equação exponencial:  

 18 – Resolva a equação exponencial 1^X = 2:

19 – Calcule o valor de n equação exponencial 3ⁿ – 2ⁿ = 65.

20 – Qual é o valor de x na equação x^x = 2²⁰⁴⁸?

a) 0          b) 40           c) 128           d) 256

 

Resposta:

1 – Resolução:

3^{x - 2} = 9

3^{x - 2} = 3⋅3

3^{x - 2} = 3²

• Logo: 

x – 2 = 2

x = 2 + 2

x = 4

2 – Resolução:

9^x + 9^{x + 1} = 270

1⋅9^x + 9^x⋅ 9¹ = 270

1⋅9^x + 9^x⋅ 9 = 270

9^x⋅(1 +  9) = 270

9^x⋅10 = 270

3 – Resolução:

4 – Resolução:

5 – Resolução:

6 – Resolução:

7 – Resolução:

• Elevando ambos os membros da equação por x:

• Fatorando o número 256: 

8 – Resolução:

• Elevando os dois membros da equação por 8:

9 - Resolução:

4^{x – 2} = 40

• Aplicado o logaritmo aos dois membros da equação:

• Aplicando a propriedade:

• Dividindo por log 4 a equação:

• Aplicando a propriedade:

• Aplicando a propriedade:

10 – Resolução:

• Fazendo:

• Usando a fórmula de Bhaskara:

ou

Valor negativo não convém.

• Como:

• Vamos ter:

• Usando a definição de logaritmo, teremos:

11 – Resolução:

• Fatorando 125:

• Usando a fórmula de Bhaskara:

• Solução: {2, – 1}

12 – Resolução:

• Calculando o logaritmo nos dois membros da equação:

• Usando a propriedade:

• Usando a propriedade:

• Usando a propriedade:

• Usando a propriedade:

13 – Resolução:

7^x +7^2x +7^3x = 14

7^x +(7^x)² +(7^x)³ = 14

• Fazendo 7^x = z:

z + z² + z³ = 14

z + z² + z³ – 14 = 0

• Fazendo 14 = 2 + 4 + 8 = 2 +2² + 2³:

z + z² + z³ – (2 + 4 + 8) = 0

z – 2 + z² – 4 + z³ – 8 = 0

z – 2 + z² – 2² + z³ – 2³ = 0

(z – 2) + (z² – 2²) + (z³ – 2³) = 0

• Usando as fatorações de polinômios:

e

(z – 2) + (z + 2)⋅(z – 2) + (z – 2)⋅(z² +z⋅2 + 2²) = 0

1⋅(z – 2) + (z + 2)⋅ (z – 2) + (z – 2)⋅(z² + 2z + 4) = 0

• Colocando z – 2 em evidência:

(z – 2)⋅[1+ (z + 2) + (z² + 2z + 4)] = 0

(z – 2)⋅(1+ z + 2 + z² + 2z + 4) = 0

(z – 2)⋅( z² + 3z + 7) = 0

z – 2 = 0  ⇒ z = 2

e

z² + 3z + 7 = 0

• Usando a fórmula de Bhaskara:

• Como z₁ e z₂ são números complexos, vamos usar apenas z = 2 real:

• Aplicando logaritmo nos dois membros da equação:

log 7^x = log 2

x⋅log 7 = log 2

• Usando a expressão de mudança de base:

• Logo:

14 – Resolução:

2^x + 2^3x  = 10

2^x + (2^x)³  = 10

• Fazendo 2^x = y:

y + y³ = 10

y + y³ – (2 + 8) = 0

y + y³ – 2 – 8 = 0

y – 2 + y³ – 8 = 0

y – 2 + y³ – 2⋅2⋅2 = 0

(y – 2) + (y³ – 2³) = 0

y³ – 2³ = (y – 2)⋅•( y² + y2 + 2²)

             = (y – 2)⋅( y² + 2y + 4)

• Substituindo em:

(y – 2) + (y³ – 2³) = 0

(y – 2) + (y – 2)⋅( y² + 2y + 4) = 0

(y – 2).1 + (y – 2)⋅( y² + 2y + 4) = 0

• Colocando (y – 2) em evidência:

(y – 2)⋅[1 + ( y² + 2y + 4)] = 0

(y – 2)⋅[1 +  y² + 2y + 4] = 0

(y – 2)⋅( y² + 2y + 5) = 0

∴ y – 2 = 0  ⇾  y = 2

ou

y² + 2y + 5 = 0

• Usando a fórmula de Bhaskara:

• Como 2^x = y  e  y = 2:

2^x = 2   ⇾   2^x = 2¹  ∴ x = 1

• Como 2^x = y:

e 

• Aplicado o logaritmo aos dois membros da equação:

• Aplicando a propriedade:

• Dividindo por log 2 a equação:

• Aplicando a propriedade:

• Solução:

15 – Resolução:

• Colocando 2^x em evidência:

• Trocando a ordem do expoente:

• Usando a propriedade de fatoração:

16 – Resolução:

3^x = x⁹

• Elevando ambos os membros da equação por1/9:

• Elevando ambos os membros da equação por1/x:

• Elevando o primeiro membro da equação por 3 e por 1/3:

• Trocando a ordem dos expoentes:

17 – Resolução:

• Lembrando que:

• Fazendo:

• Usando a fórmula de Bhaskara:

• Para y = 1:                Para y = 10:

 18 – Resolução:

   1^X = 2

• Usando a fórmula de Euler:

19 – Resolução:

Vamos fazer:

x + y = 13  (1)

e

x – y = 5  (2)

Isolando x em (1):

x = 13 – y   (3)

Substituindo x em (2):

x – y = 5 

(13 – y) – y = 5 

13 – y – y = 5

 – y – y = 5 – 13 

– 2 y = – 8

y = 4

Substituindo y em (3):

x = 13 – y   

x = 13 – 4 = 9

x = 9

Substituindo x e y em:

   Logo: n = 4

20 – Resolução: