Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é um dos pilares da dinâmica dos fluidos, descrevendo a conservação de energia em um fluido em movimento. Foi formulada pelo matemático e físico suíço Daniel Bernoulli no século XVIII.

Conceito Principal

A equação de Bernoulli estabelece que, ao longo de uma linha de corrente, a soma da pressão, da energia cinética e da energia potencial do fluido permanece constante, desde que não haja efeitos como atrito ou adição de energia externa.

Expressão Matemática

A equação pode ser escrita como:

Onde:

( p ) é a pressão do fluido;

( ρ) é a densidade do fluido;

( v ) é a velocidade do fluido;

( g ) é a aceleração da gravidade;

( h ) é a altura do fluido em relação a um referencial.

Essa equação significa que, se a velocidade de um fluido aumenta, sua pressão diminui, e vice-versa. Esse princípio é fundamental para entender fenômenos como o efeito Venturi e a sustentação em asas de aviões.

Aplicações da Equação de Bernoulli

A equação de Bernoulli é usada em diversas áreas, como:

• Aerodinâmica (explicação da força de sustentação em asas de aviões);
• Hidrodinâmica (cálculo do fluxo de água em tubulações e canais);
• Medicina (estudo do fluxo sanguíneo nos vasos);
• Engenharia (projetos de sistemas de ventilação e turbinas).

Exercícios

1 - A figura mostra um esquema de captação de água para uma usina hidrelétrica. Mais à direita, um detalhe da saída do tubo no gerador quando a água já passou pela turbina. Sabendo que a diferença de pressão Δp = p₁ – p₂ = 2,560 atm, que d₁/d₂ = 4, A_E = 2A₁ = 0,3870 m², D = 180 m e p_Ent = 2,00 atm,  determine (respostas com 3 algarismos significativos e em notação científica):

a. A velocidade de escoamento v₁.

b. Considere agora que a altura do espelho de água do reservatório em relação a entrada do tubo seja constante ao longo de um dia. Determine o volume total escoado pela usina em 24 horas.

c. Determine a profundidade do tubo de entrada de água em relação a superfície de água no reservatório quando não há escoamento de água pela tubulação da turbina. Neste regime, a pressão na altura do tubo de entrada vale p_Ent =2,00 atm.  

Resolução:

Δp = p₁ – p₂ = 2,560 atm

d₁/d₂ = 4

A_E = 2A₁ = 0,3870 m²

D = 180 m 

p_Ent = 2,00 atm

Cálculo da área da seção transversal na entrada (A₁):

A_E = 2A₁ = 0,3870 m²

A₁ = 0,1935 m²

2 - Em um grande reservatório de água, a entrada da tubulação (veja na figura) tem uma seção reta de 0,600 m² e a velocidade da água é 0,400 m/s. A água desce gradualmente pelo tubo e na saída, a uma profundidade D = 160 m abaixo da entrada, a seção reta é 20 vezes menor.

(a) Calcule a velocidade da água na saída.

(b) Calcule a diferença de pressão entre a entrada e a saída.

Resolução:

a) A₁ = 0,600 m²

v₁ = 0,400 m/s

D = 160 m

Área da seção reta na saída:

A₂ = 0,030 m²

Velocidade da água na saída, usando a equação da continuidade:

p₁ − p₂= 500⋅(64 – 0,16) + 9 800⋅(– 160)

p₁ − p₂= 500⋅63,84 – 1 568 000

p₁ − p₂ = 31 920 – 1 536 080

p₁ − p₂ = − 1 536 080

p₁ − p₂ = − 1,54⋅10⁶ Pa