O dispositivo prático de Briot-Ruffini foi criado para facilitar a realização de divisões de polinômios de maneira rápida e eficiente, utilizando o método conhecido como divisão sintética. Desenvolvido pelos matemáticos franceses Briot e Ruffini no século XIX, esse dispositivo mecânico permitia realizar essas divisões de forma sistemática e visual, sem a necessidade de cálculos longos e complexos. Ele é especialmente útil para dividir um polinômio P(x) por um binômio da forma D(x) = x – a, onde "a" é uma constante.
Funcionamento
O funcionamento do dispositivo é baseado no método de
divisão sintética, onde o polinômio é disposto em uma tabela e os coeficientes
são manipulados de forma a simplificar o cálculo do quociente e do resto.
Exemplos
1 - Vamos dividir o polinômio P(x) = x3– 6x2 + 11x – 6 pelo binômio D(x) = x – 2.
Passo 1: Escreva os coeficientes do polinômio. Neste caso, os coeficientes de x3, x2, x e o termo constante são 1, – 6, 11 e – 6, respectivamente.
Coeficientes: 1, – 6, 11,– 6,
Passo 2: O número que aparece no divisor (x – 2) é 2, pois estamos dividindo por (x – 2).
Passo 3: Usando o dispositivo, você começa o processo pelo número 2 (do divisor). Depois, multiplica esse número com o primeiro coeficiente (1) e adiciona o próximo coeficiente. Repita esse processo para todos os coeficientes:
Comece com 2.
2⋅1 + (– 6) = 2 – 6 = – 4
2⋅(– 4) +11 = – 8 + 11 = 3
2⋅3 + 6 = 6 + (– 6) = 0
- A tabela fica assim:
- * Para começar, abaixa o 1º coeficiente (1):
do quociente
Passo 1: Escreva os coeficientes do polinômio. Neste
caso, os coeficientes de x3, x2, x e o termo constante
são 2, 3, − 5 e 6, respectivamente.
Coeficientes: 2, 3, − 5, 6
Passo 2: O número que aparece no divisor (x −1) é 1,
pois estamos dividindo por (x − 1).
Passo 3: Usando o dispositivo, você começa o processo pelo número 1 (do divisor). Depois, multiplica esse número com o primeiro coeficiente (2) e adiciona o próximo coeficiente. Repita esse processo para todos os coeficientes:
Comece com 1.
do quociente
Passo 4: O resultado da divisão é o quociente, que
corresponde aos coeficientes na linha final (exceto o último). Nesse caso, o
quociente é Q(x) = 2x2 + 5x, e o resto é R(x) = 6, o que indica que (x − 1) não divide
exatamente o polinômio 2x3+ 3x2 − 5x + 6.
Resultado final: (2x3+ 3x2 − 5x
+ 6): (x − 1) = 2x2 + 5x, com resto 6.
Exercícios
1 – Divida x² + 3x + 2 por x + 1.
3 - Dividindo o polinômio P(x) = x3 – 4x2 + 5x – 8 por d(x) = x – 2, determine o quociente e o resto dessa divisão.
4 - Divida x3 – 2x2 – 5x + 6 por x – 2.
5 - Dividir o polinômio (3x3 + 2x2 – 5x + 1) por (x – 2).
6 - Execute a seguinte divisão de polinômios pelo método de prático de Briot – Ruffini:
(7x 3 –
x + 2) : (x + 2)
7 – Efetue a seguinte divisão de polinômios (2x4 + 3x2 + 5x + 1):(x – 2).
8 – Encontre as raízes da equação x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0.
Respostas:
1 – Resolução:
Coeficientes do dividendo: 1, 3 e 2
Raiz de divisor: x + 1 = 0 ⇒ x = – 1– 1⋅1 + 3 = – 1 + 3 = 2
– 1⋅2 + 2 = – 2 + 2 = 0
Resposta: Q(x) = x + 2 e R(x) = 0
Coeficientes de P(x): 3, 2, 1, e 5
x + 1 = 0 ⇒ x = – 1
do quociente
3 - Resolução:
Usando o dispositivo prático de Briot – Ruffini:
Raiz de d(x): x – 2 = 0 ⇒ x = 2
do quociente
Resposta: Q(x) = x2 – 2x + 1 e R(x) = – 6
Usando o dispositivo prático de Briot – Ruffini:
(x3 – 2x2 – 5x + 6):(x – 2)
Coeficientes do dividendo; 1, – 2, – 5, e 6
do quociente
5 - Resolução:
(3x3 + 2x2 – 5x + 1) : (x – 2)
Coeficientes do dividendo: 3, 2, – 5 e 1
2⋅8 +(– 5) = 16 – 5 = 11
2⋅11 + 1 = 22 + 1 = 23
Resposta: Q(x) = 3x2 + 8x + 11 e R(x) = 23
6 - Resolução:
(7x 3 – x + 2) : (x + 2)
Nesse caso, temos que o termo x2 não aparece, então escreveremos em 0 como seu coeficiente. Assim, o polinômio seria como 7x3 + 0x2 – x + 2.
Coeficientes do dividendo: 7, 0, – 1 e 2
Raiz de divisor: x + 2 = 0 ⇒ x = – 2
– 2⋅7 + 0 = – 14 + 0 = – 14
– 2⋅(– 14) + (– 1) = 28 – 1 = 27
– 2⋅27 + 2 = – 54 + 2 = – 52
Resposta: Q(x) = 7x2 – 14x + 27 e R(x) = – 52
7 – Resolução:
(2x4 + 3x2 + 5x + 1):(x – 2)
Nesse caso, temos que o termo x3 não aparece, então escreveremos em 0 como seu coeficiente. Assim, o polinômio seria como 2x4 + 0x3 + 3x2 + 5x + 1.
Coeficientes do dividendo: 2, 0, 3, 5 e1.
Raiz de divisor é: x – 2 = 0 ⇒ x = 22⋅4 + 3 = 8 + 3 = 11
2⋅11 + 5 = 22 + 5 = 27
2⋅27 + 1 = 54 + 1 = 55
Coeficientes Resto
do quociente
Resposta: Q(x) = 2x3 + 4x2 + 11x + 27 e R(x) = 55
8 – Resolução:
x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0
Coeficientes da equação são: 1, – 1, – 7, 1 e 6
Soma dos coeficientes: 1 + (– 1) + (– 7) + 1 + 6 = 0
Como a soma dos coeficientes é zero, uma das raízes é 1.
1⋅0 + (– 7) = 0 – 7 = – 7
1⋅(– 7) + 1 = – 7 + 1 = – 6
1⋅(– 6) + 6 = – 6 + 6 = 0
1x3 – 7x – 6 = 0
Dividindo o último
coeficiente com o 1º:
Todos os divisores de 6: {– 6, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 6}
(– 6)3 – 7⋅ (– 6) – 6 = 0– 216 + 42 – 6 = – 180 ≠ 0 (F)
(– 3)3 – 7⋅ (– 3) – 6 = 0
– 27 + 21 – 6 = – 12 ≠ 0 (F)
(– 2)3 – 7⋅ (– 2) – 6 = 0
– 8 + 14 – 6 = 0 (V)
(– 1)3 – 7⋅ (– 1) – 6 = 0
– 1 + 7 – 6 = 0 (V)
23 – 7⋅ 2 – 6 = 0
8 – 14 – 6 = – 12 ≠ 0 (F)
33 – 7⋅ 3 – 6 = 0
27 – 21 – 6 = 0 (V)
63 – 7⋅ 6 – 6 = 0
216 – 42 – 6 = 168 ≠ 0 (F)
Solução: {– 2, – 1, 1, 3 }
9 – Resolução:
Nesse caso, temos que o
termo x não aparece, então escreveremos em 0 como seu coeficiente. Assim,
o polinômio seria como: x3 – x2 + 0x – 4.
Coeficientes do
polinômio: 1, – 1, 0
e – 4.
Dividindo o último
coeficiente com o 1º:
Divisores de – 4:
D = {– 4, – 2, – 1, 1, 2, 4}
O número 2 é raiz da
equação:
x3 – x2
– 4 = 0
23 – 22
– 4 = 8 – 4 – 4 = 0
do quociente
Resposta: q(x) = x2 + x + 2
p(x) = x3 – x2 – 4 = (x – 2) ⋅q(x)
q(x) = x2 + x + 2 = 0
a = 1, b = 1 e c = 2
Usando a fórmula de Bhaskara:
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