Inequações do 1º grau

As inequações do 1º grau são uma parte fundamental da álgebra e envolvem a resolução de expressões matemáticas que estabelecem uma relação de desigualdade entre duas expressões. Elas são semelhantes às equações do 1º grau, mas em vez de igualdades, trabalhamos com desigualdades como "<" (menor que), " >" (maior que), "≤ " (menor ou igual a) e " ≥" (maior ou igual a).

Principais Conceitos

1. Definição:

Uma inequação do 1º grau em uma variável tem a forma: 

ou

Onde a, b e c são números reais e x é a variável. 

         2.  Solução:

• Resolver uma inequação do 1º grau envolve encontrar o conjunto de valores de x que tornam a desigualdade verdadeira.

         3.  Regra Importante:

• Ao multiplicar ou dividir ambos os lados de uma inequação por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Por exemplo, se – x < 5, ao multiplicar por –1, obtemos x > – 5.

Exemplo

Suponha que temos a inequação 2x – 3 < 7:

1. Adicionar 3 a ambos os lados: 2x < 10
2. Dividir ambos os lados por 2: x < 5

Portanto, a solução é x < 5, que significa que qualquer valor de x menor que 5 satisfaz a inequação.

Representação Gráfica

A solução de uma inequação do 1º grau também pode ser representada graficamente em uma linha numérica, onde os valores que satisfazem a inequação são geralmente indicados por uma linha contínua ou um intervalo.

Exercícios

1 – Resolva a inequação x + 3 < – 2(3x +1).

Resolução:

x + 3 < – 2(3x + 1)

x + 3 < – 6x – 2

x + 3 + 6x < – 2

x + 6x < – 2 – 3

7x < – 5

2 – Resolva as inequações:

a) 7x – 9 < 2x + 16

b) 7x – 1 ≤ 3(x – 3)

c) 12x – 5 – 4x ≤  9x + 2

Resolução:

a) 7x < 2x + 16 + 9

7x – 2x < 25

5x < 25

x < 5

b) 7x – 1 ≤ 3(x – 3)

7x – 1 ≤  3x – 9

7x – 3x ≤  – 9 + 1

4x ≤  – 8

x ≤ – 2

c) 12x – 5 – 4x ≤  9x + 2

12x – 4x – 9x ≤ 2 + 5

8x – 9x ≤ 7

– x ≤ 7    ☓(– 1)

x ≥ – 7

3 – Resolva a inequação do 1º grau:

Resolução:

Multiplicando cruzado:

4 – Resolva a inequação em IR:

Resolução:

O mínimo múltiplo comum entre 2  e 4 é 4:

Solução:{x ∈ IR / x ≤ 1}

5 – Resolva a inequação em IR:

Resolução:

O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 4 é 12: 

Solução:{x ∈ IR / x ≥ 5}

6 – (EPCAr - 2024) A figura abaixo é um losango e as medidas indicadas estão em metros.

Todos os possíveis valores reais de x para que a área desse losango seja maior ou igual a 72 m², são tais que

Resolução:

A área do losango é dada por:

Onde: “D” é a diagonal maior e “d” é a diagonal menor.