Logaritmo

É a operação inversa da exponencial utilizada para o cálculo de equações exponenciais que não possuem soluções imediatas.

Definição
O logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Em outras palavras, se

Notação
O logaritmo é denotado por log_a (x), onde:
“a” é a base do logaritmo.
“x” é o número que está sendo o logaritmado.

Exemplos

Propriedades

Tipos de logaritmos
- Logaritmo natural (ln): base "e" (aproximadamente 2,718)
- Logaritmo comum (log): base 10
- Logaritmo binário (log₂): base 2

 Aplicações
a) Física: logaritmos são usados para descrever a intensidade de fenômenos como som e luz
b) Engenharia: logaritmos são usados para calcular a magnitude de grandezas como tensão e corrente elétrica
c) Finanças: logaritmos são usados para calcular a taxa de retorno de investimentos

Exercícios

1 - Qual é o valor do logaritmo abaixo?

Resolução:

• Usando a definição:

Resposta:

2 - Qual é o valor de x na equação logarítmica?

Resolução:

• Usando a definição:

3 - Determine o valor de:

Resolução:

• Usando a definição:

Resposta:

4 - Calcule o valor do logaritmo abaixo:

Resolução:

• Usando a definição:

Resposta:

5 - Determine o valor do logaritmo:

Resolução:

• Usando a definição:

Resposta:

6 – Considerando log 2 = 0,3, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,7, calcule o valor do log₃₆ (0,5).

Resolução:

• Usando a expressão de mudança de base:

• Usando as propriedades:

• Usando a propriedade:

• Logo:

7 – Determine o valor de x na equação 6^x⋅6^x = 54.

6^x⋅6^x = 54
6^x+x = 54
6^2x = 54

Aplicado o logaritmo aos dois membros da equação:
log 6^2x = log 54

Aplicando a propriedade:

2x⋅log 6 = log 6 + log 9

Dividindo ambos os membros da equação  por log 6:

Aplicando a propriedade:

Dividindo ambos os membros da equação  por 2:

8 – Resolva a equação 2^x + 2^3x = 10.

Resolução:

2^x + 2^3x = 10

2^x + (2^x)³ = 10

• Fazendo 2^x = y:

y + y³ = 10

y + y³ – (2 + 8) = 0

y + y³ – 2 – 8 = 0

y – 2 + y³ – 8 = 0

y – 2 + y³ – 2⋅2⋅2 = 0

y – 2 + y³ – 2³= 0

(y – 2) + (y³ – 2³) = 0 

• Usando a propriedade de fatoração:

a³ – b³ = (a – b)⋅( a² + ab + b²) 

y³ – 2³ = (y – 2)⋅( y² + y⋅2 + 2²)

             = (y – 2)⋅( y² + 2y + 4)

• Substituindo em:

(y – 2) + (y³ – 2³) = 0

(y – 2) + (y – 2)⋅( y² + 2y + 4) = 0

(y – 2)⋅1 + (y – 2)⋅( y² + 2y + 4) = 0

• Colocando (y – 2) em evidência:

(y – 2)⋅[1 + ( y² + 2y + 4)] = 0

(y – 2)⋅[1 +  y² + 2y + 4] = 0

(y – 2)⋅( y² + 2y + 5) = 0

y – 2 = 0   ⇒    y = 2

ou

y² + 2y + 5 = 0

• Usando a fórmula de Bhaskara:

a = 1,   b = 2   e   c = 5

• Como 2^x = y  e  y = 2:

2^x = 2      2^x = 2¹

x = 1

2^x = y

• Como 2^x = y:

e

• Aplicado o logaritmo aos dois membros da equação:

• Aplicando a propriedade:

• Dividindo por log 2 a equação:

• Aplicando a propriedade:

• Solução:

9 - Qual é o valor de x na equação 4^{x – 2} = 40?

Resolução:

4^{x – 2} = 40

• Aplicado o logaritmo aos dois membros da equação:

• Aplicando a propriedade:

• Dividindo por log 4 a equação:

• Aplicando a propriedade:

• Aplicando a propriedade:

10 – Determine o valor de x na equação 6^x ⋅ 6^x = 54.

Resolução:

6^x ⋅ 6^x = 54   ⇒   6^x+x = 54   ⇒   6^2x = 54

Aplicado o logaritmo aos dois membros da equação:

log 6^2x = log 54

Aplicando a propriedade:

Log_a (x^k) = k⋅ log_a (x)

2x⋅log 6 = log 6⋅9

plicando a propriedade:

log_a (x⋅y) = log_a (x) + log_a (y)

2x⋅log 6 = log 6 + log 9

Dividindo por log 6 a equação:

Aplicando a propriedade:

Dividindo por log 2 a equação: