Determinantes

Os determinantes são funções matemáticas que associam a cada matriz quadrada um número real ou complexo, importante em várias áreas da matemática, como álgebra linear, geometria e cálculo. Eles desempenham um papel fundamental na solução de sistemas lineares, no cálculo de inversas de matrizes e na análise de transformações lineares.

1 - Definição de Determinante:

• Para uma matriz 2x2, o determinante é calculado como:     

• Para uma matriz 3x3 ou maior, o cálculo envolve somas e produtos mais complexos, frequentemente utilizando a regra de Sarrus para 3x3 e cofatores para matrizes maiores.

2. Propriedades dos Determinantes:

• Comutatividade: O determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

• Multiplicatividade: O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes.

• Determinante da Matriz Identidade: O determinante de uma matriz identidade de qualquer ordem é 1.

• Linha ou Coluna de Zeros: Se uma linha ou coluna de uma matriz é composta apenas de zeros, seu determinante é zero.

• Troca de Linhas: Trocar duas linhas de uma matriz altera o sinal do determinante.

• Multiplicação por Escalar: Multiplicar uma linha de uma matriz por um escalar k multiplica o determinante por k.

3 - Aplicações dos Determinantes:

• Sistemas Lineares: Usado para resolver sistemas de equações lineares pelo método de Cramer.

• Inversas de Matrizes: Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, seu determinante não for zero. A inversa é dada por:           

         

         Onde adj(A) é a matriz adjunta:   

• Transformações Lineares: Determinantes podem ser usados para entender a escala de transformação linear e o volume de paralelogramos ou paralelipípedos definidos por vetores.

4 - Cálculo de Determinantes:

• Regra de Sarrus: Aplicável para matrizes 3x3.

• Expansão por Cofatores: Um método geral para matrizes de qualquer ordem, onde o determinante é expresso em termos de determinantes menores (menores complementares).

Exercícios

1 – Calcule o determinante da matriz A.

Resolução:

2 – Encontre o valor de x, para que o determinante da matriz A, seja igual a 5.

Resolução:

3 – (PUC-CAMP) Sejam as matrizes A, B e C:

O determinante da matriz A + B・C é :

a) – 4           b)  – 2           c) 0           d) 1          e) 5

Resolução:

4 - (PUC – RS) O determinante da matriz M é:

a) 0.    b) 1.    c) sen x + cos x    d) sen² x    e) (sen x + cos x)²

Resolução:

5 – Considerando as matrizes abaixo, calcule o determinante de A・B.

     

          a) 64          b) 8          c) 0          d) – 8         e) –  64

         

     

      

      

     

    

     

6 – Sejam as matrizes A, B e C:

Sabendo que x = detA, y = detB e z = detC, onde "det" é o determinante de uma matriz, o valor de (x ⋅ z)^y é:

     a)    1000

     b)    27

     c)     1

     d)    – 27

     e)    – 1 000

Resolução:

(x⋅z)^y = (x⋅z)⁰ = 1

7 – Resolva as seguintes equações:

a)

b)

Resolução:

a)

Usando a fórmula de Bhaskara:

Solução:{1}

b)

Usando a fórmula de Bhaskara:

Solução:{2, – 1}