Lei dos cossenos

A lei dos cossenos, também conhecida como teorema de Al-Kashi, é uma fórmula fundamental na trigonometria que relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos. Esta lei é particularmente útil para resolver triângulos que não são retângulos, onde a lei dos senos pode não ser suficiente. Por não estar restrita ao triângulo retângulo, a lei dos cossenos pode ser entendida como uma generalização do teorema de Pitágoras.

Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. Ou seja:

Exercícios

1 - (UF-Viçosa) Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 10 m, formando um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo:

O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, em metros, é:

Resolução:

• Fatorando 175:

• Comprimento do terreno será a + b + c:

P = a + b + c

2 - Calcular o valor do lado x no triângulo abaixo utilizando a Lei dos Cossenos.

Resolução:

3 – Calcule o perímetro do triângulo ABC.

Resolução:

• Primeiramente vamos calcular o valor de cos 120°:

• Usando a fórmula de Bhaskara:

• Perímetro:

• Fazendo: