Relação de Euler

A relação de Euler é uma fórmula fundamental na topologia de poliedros e superfícies, que estabelece uma conexão entre o número de vértices (V), arestas (A) e faces (F) de um poliedro convexo. A fórmula é expressa como:

          V – A + F = 2

 Esta relação é incrível porque se aplica a qualquer poliedro convexo, não importa a forma ou complexidade. Vamos entender cada um dos componentes:

1. Vértices (V): Os pontos onde as arestas de um poliedro se encontram.
2. Arestas (A): As linhas que conectam os vértices.
3. Faces (F): As superfícies planas que formam as fronteiras do poliedro.

Sólidos	Vértices	Faces	Arestas	Relação de Euler V – A + F = 2
Cubo	8	6	12	8 – 12 + 6 = 2
Paralelepípedo	8	6	12	8 – 12 + 6 = 2
Pirâmide quadrangular	4	4	6	4 – 6 + 4 = 2
Pirâmide hexagonal	5	5	8	5 – 8 + 5 = 2
Pirâmide retangular	7	7	12	7 – 12 + 7 = 2
Pirâmide triangular	5	5	8	5 – 8 + 5 = 2
Prisma triangular	6	5	9	6 – 9 + 5 = 2
Prisma hexagonal	12	8	18	12 – 18 + 8 = 2
Tetraedro	4	4	6	4 – 6 + 4 = 2

Relação entre o número de arestas e lados de um poliedro

Para encontrar o número de aresta podemos calcular o número total de lados e dividir o resultado por dois, visto que cada aresta (A) é a intersecção de dois lados (L):

Exemplos de Aplicação da Relação de Euler:

• Cubo: Um cubo tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. Aplicando a relação de Euler:

      V – A + F = 2
      8 – 12 + 6 = 2
      – 4 + 6 = 2

• Tetraedro: Um tetraedro tem 4 vértices, 6 arestas e 4 faces. Aplicando a relação de Euler:

      V – A + F = 2
      4 – 6 + 4 = 2
      – 2 + 4 = 2

Exercícios

1 – Determine o número de faces de um sólido que apresenta 10 arestas e 6 vértices.

Resolução:

V = 6
A = 10
F = ?

V – A + F = 2

6 – 10 + F = 2
– 4 + F = 2
F = 2 + 4 = 6
F = 6 faces

2 – (FAAP/SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.

Resolução:
• De acordo com o enunciado, temos:

A = V + 6

• Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

F = ?
V – A + F = 2

V – (V + 6) + F = 2
V – V – 6 + F = 2
– 6 + F = 2
F = 2 + 6 = 8
F = 8 faces.

3 – Um poliedro possui 16 faces e 18 vértices. Qual é o número de arestas desse poliedro?
a) 16         b) 18          c) 32         d) 34         e) 40

Resolução:
V = 18

A = ?

F = 16

V – A + F = 2

18 – A + 16 = 2

32 – A = 2

34 – 2 = A

A = 32 arestas.

4 – O número de faces de um poliedro convexo que possui 34 arestas é igual ao número de vértices. Quantas faces possui esse poliedro?

a) 18          b) 20          c) 36          d) 34          e) 19

Resolução:

• De acordo com o enunciado, temos:

F = V    e    A = 34

• Usando a Relação de Euler e substituindo F de acordo com a igualdade acima:

F = ?
V – A + F = 2

V – A + V = 2

V – 34 + V = 2

V + V = 2 + 34

2V = 36

V = 36:2

V = 18

• Como F = V:

F = 18 faces

5 – Um poliedro convexo, o número de vértices é 5 e o de aresta é 10. Qual é o número de faces?

Resolução:

V = 5

A = 10

F = ?

V – A + F = 2

5 – 10 + F = 2

– 5 + F = 2

F = 2 + 5

F= 7 faces.

6 – Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?

Resolução:

• De acordo com o enunciado, temos:

F = V    e    A = 20

• Usando a Relação de Euler e substituindo F de acordo com a igualdade acima:

F = ?

V – A + F = 2

V – A + V = 2

V – 20 + V = 2

V + V = 2 + 20

2V = 22

V = 22:2

V = 11

• Como F = V:      F = 11 faces.   

7 – O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?

Resolução:
• De acordo com o enunciado, temos:
F = V    e    A = 22
• Usando a Relação de Euler e substituindo F de acordo com a igualdade acima:
F = ?
V – A + F = 2
V – A + V = 2
V – 22 + V = 2
V + V = 2 + 22

2V = 24
V = 24:2
V = 12
Como F = V:
F = 12 faces

 8 – Um poliedro convexo tem 9 faces e 16 arestas. Determine o número total de vértices desse poliedro.

Resolução:

V = ?
A = 16
F = 9
V – A + F = 2
V – 16 + 9 = 2
 V – 7 = 2
V = 2 + 7
V = 9 vértices

 9 – Num poliedro convexo, o número de arestas é 12 unidades maior que o número de vértices. Calcule o número de faces desse poliedro.

Resolução:

• De acordo com o enunciado, temos:

A = V + 12

• Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

F = ?

V – A + F = 2

V – (V + 12) + F = 2

V – V – 12 + F = 2

– 12 + F = 2

F = 2 + 12

F = 14 faces

10 – O número de arestas de arestas de um octaedro convexo é o dobro do número de vértices. Quantas arestas possui esse poliedro?

Resolução:

• De acordo com o enunciado, temos:

A = 2V   e    F = 8 (octaedro)

• Usando a Relação de Euler e substituindo A de acordo com a igualdade acima:

A = ?

V – A + F = 2

V – 2V + F = 2

V – 2V + 8 = 2

– V + 8 = 2

– V = 2 – 8

– V = 2 – 8

– V = – 6     ⋅( – 1)

V = 6

• Como A = 2V:

A = 2⋅6

A = 12 arestas.

11 – Utilizando a relação de Euler, marque o número de arestas de um dodecaedro convexo, sabendo que esse sólido possui 12 faces e 20 vértices.

a) (   ) 30    b) (   ) 32    c) (   ) 40    d) (   ) 42

Resolução:

A = ?

V = 20

F = 12

V – A + F = 2

20 – A + 12 = 2

– A + 32 = 2

– A = 2 – 32

– A = – 30    ⋅( – 1)

A = 30 arestas.

12 – Num poliedro convexo, o número de faces é 20 e o número de vértices é 12. Qual é o número de arestas desse poliedro?

Resolução:

A = ?
F = 20

V = 12
V – A + F = 2
12 – A + 20 = 2
32 – A = 2
– A = 2 – 32
– A = – 30    ⋅( – 1)
A = 30 arestas.

13 – Um poliedro convexo é constituído por três faces triangulares, cinco quadrangulares e sete pentagonais. Quantas arestas e quantos vértices possui esse poliedro?

Resolução:

A = ?
V = ?

F = 3 + 5 + 7 = 15

L = 9 + 20 + 35 = 64

• Na fórmula abaixo vamos fazer: Lados (L) e Aresta (A):

V – A + F = 2

V – 32 + 15 = 2

V – 17 = 2     V = 2 + 17 = 19

• Resposta: Esse poliedro possui 32 arestas e 19 vértices. 

14 – Determine o número de vértices de um poliedro que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma pentagonal e duas hexagonais.

Resolução:

V = ?

F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7

L = 9 + 4 + 5 +12 = 30

• Na fórmula abaixo vamos fazer: Lados (L) e Aresta (A):

V – A + F = 2

V – 15 + 7 = 2
V – 8 = 2     

V = 2 + 8 = 10
Resposta: Esse poliedro possui 10 vértices.      

15 – Um poliedro convexo tem 5 faces triangulares, 6 faces quadrangulares e 3 faces pentagonais. Calcule o número de faces, arestas e vértices desse poliedro.

Resolução:

F = ?       A = ?       V = ?

F = 5 + 6 + 3 = 14

L = 15 + 24 + 15 = 54

• Na fórmula abaixo vamos fazer: Lados (L) e Aresta (A):

V – A + F = 2
V – 27 + 14 = 2
V – 13 = 2     

V = 2 + 13 = 15

• Resposta: Esse poliedro possui 14 faces, 27 arestas e 15 vértices. 

16 – Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O número de arestas desse poliedro é:

      a) 150     b) 180     c) 190     d) 200     e) 240 

      Resolução:   

      A = ?

     

L = 240 + 60 = 300

• Na fórmula abaixo vamos fazer: Lados (L) e Aresta (A):

Resposta: Letra A 

17 – Determine o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.

A = ?

V = ?

F = 6 + 4 = 10

L = 24 + 12 = 36

• Na fórmula abaixo vamos fazer: Lados (L) e Aresta (A):

V – A + F = 2

V – 18 + 10 = 2

V – 8 = 2     V = 2 + 8 = 10

• Resposta: Esse poliedro possui 18 arestas e 10 vértices. 

18 – Um poliedro convexo apresenta 1 face hexagonal e 6 faces triangulares. Quantos vértices tem esse poliedro?

V = ?

F = 1 + 6 = 7

L = 6 + 18 = 24

• Na fórmula abaixo vamos fazer: Lados (L) e Aresta (A):

V – A + F = 2

V – 12 + 7 = 2

V – 5 = 2     V = 2 + 5 = 7

• Resposta: Esse poliedro possui 7 vértices. 

19 – Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais.

V = ?

F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7

L = 9 + 4 + 5 + 12 = 30

• Na fórmula abaixo vamos fazer: Lados (L) e Aresta (A):

V – A + F = 2

V – 15 + 7 = 2

V – 8 = 2     V = 2 + 8 = 10

• Resposta: Esse poliedro possui 10 vértices. 

Fatoração de um trinômio qualquer

A fatoração de trinômios é um conceito essencial na álgebra, útil em muitas áreas da matemática, como resolução de equações quadráticas e simplificação de expressões algébricas. Um trinômio é uma expressão algébrica formada por três termos, geralmente da forma ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes.

Objetivo da fatoração de trinômios: Transformar o trinômio em um produto de dois binômios mais simples, se possível.

Passos básicos para fatorar trinômios:

1. Identificar a Forma do Trinômio:

   • Para trinômios quadráticos na forma ax² + bx + c, onde a ≠ 1, utilize os métodos de fatoração apropriados. Se a = 1, o processo é mais direto.

     x² + (d + e)x + d⋅e = (x + d)⋅(x + e)

2. Encontrar Dois Números:

   • Identificar dois números cuja soma seja igual ao coeficiente b e cujo produto seja igual ao termo constante c.

3. Decomposição:

   • Reescrever o termo do meio usando os dois números encontrados e, em seguida, agrupar os termos para fatorar.

4. Fatoração por Agrupamento:

   • Agrupar termos comuns e fatorar em pares.

Exemplo: Para o trinômio x² + 5x + 6:

1. Encontrar dois números cuja soma seja 5 e produto seja 6 (2 e 3).

2. Reescrever o trinômio: x² + 2x + 3x + 6.

3. Agrupar: x⋅(x + 2) +3⋅(x + 2).

4. Fatorar: (x + 2)⋅(x + 3).

Exercícios

1 – Fatore os trinômios abaixo.

a) x² + 7x + 10

b) x² – 2x –  3

Resolução:

a) x² + 7x + 10 = (x + 2)⋅(x + 5)

d + e = 2 + 5 = 7

d⋅e = 2⋅5 = 10

b) x² – 2x –  3 = (x + 1)⋅(x – 3)

d + e = 1 + (– 3) = 1 – 3 = – 2

d⋅e = 1⋅ (– 3) =  – 3

2 – Fatore a expressão 3x² – 13x – 10.

Resolução:
Fazendo – 13x = – 15x + 2x:
3x² – 13x – 10 = 3x² – 15x + 2x – 10
3x² – 13x – 10 = 3⋅x⋅x – 3⋅5⋅x + 2⋅x – 2⋅5
3x² – 13x – 10 = 3x⋅(x – 5) + 2⋅(x – 5)
3x² – 13x – 10 = (x – 5)⋅(3x + 2)

3 – Fatore o trinômio 2x² + 5x – 12.

Resolução:

2x² + 5x – 12

• Escrevendo 5x como 8x – 3x:
2x² + 5x – 12 = 2x² + 8x – 3x – 12
2x² + 5x – 12 = 2x⋅x + 2x⋅4 – 3x – 3⋅4
2x² + 5x – 12 = 2x⋅(x + 4) – 3⋅(x + 4)

• Colocando (x + 4) em evidência:

2x² + 5x – 12 =  (x + 4)⋅(2x – 3)

4  – Qual é a forma fatorada da expressão 4x² + 14x + 12?

Resolução:
4x² + 14x + 12

• Escrevendo 14x como 8x + 6x:

4x² + 14x + 12 = 4x² + 8x + 6x + 12
4x² + 14x + 12 = 4x.x + 2.4x + 6.x + 2.6
4x² + 14x + 12 = 4x.(x + 2) + 6.(x + 2)
4x² + 14x + 12 = (x + 2).(4x + 6)

5 – Fatore o trinômio x³ – 3x + 2.

Resolução:

x³ – 3x + 2

• Escrevendo – 3x = – x – 2x:

x³ – 3x + 2 = x³ – x – 2x + 2
x³ – 3x + 2 = x⋅(x² –1) –  2⋅(x – 1)
x³ – 3x + 2 = x⋅(x + 1)⋅(x –1) –  2⋅(x – 1)

• Colocando (x – 1) em evidência:

x³ – 3x + 2 = (x – 1)⋅[x⋅(x + 1) – 2]
x³ – 3x + 2 = (x – 1)⋅(x² + x – 2)

• Podemos ainda fatorar x² + x – 2:

x² + x – 2 = x² + 1x – 2
d + e = 2 + (– 1) = 2 – 1 = 1
d⋅e = 2⋅ (– 1) =  – 2
x² + x – 2 = (x + 2)⋅(x –1)

• Substituindo em:

x³ – 3x + 2 = (x – 1)⋅( x² + x – 2)
x³ – 3x + 2 = (x – 1)⋅(x + 2)⋅(x – 1)

x³ – 3x + 2 = (x + 2)⋅(x –1)²

6 – Fatore o trinômio x³ + x² – 12.

Resolução:

x³ + x² – 12

• Fazendo – 12 = – 8 – 4:

x³ + x² – 12 = x³ + x² – 8 – 4
x³ + x² – 12 = x³ + x² – 2³ – 2² 
x³ + x² – 12 =  (x³ – 2³ ) + (x² – 2²)

• Substituindo em:

x³ + x² – 12 =  (x³ – 2³ ) + (x² – 2²)
x³ + x² – 12 = (x – 2)⋅( x² + 2x + 4)+ (x + 2)⋅(x – 2)

• Colocando (x – 2) em evidência:

x³ + x² – 12 = (x – 2)⋅[( x² + 2x + 4) + (x + 2)]
x³ + x² – 12 = (x – 2)⋅( x² + 3x + 6) 

x³ + x² – 12 = (x – 2)⋅( x² + 2x + 4 + x + 2) 

Raiz cúbica com radical duplo

1 - Calcule o valor da expressão:

Resolução:

• Vamos chamar o resultado desse radical de:

• Então:

• Elevando ao cubo ambos os membros:

• Lembrando que:

• Logo:

2 - (Colégio Naval – 1982)

 é igual a:

Resolução:

• Vamos chamar o resultado desse radical de:

• Então:

• Elevando ao cubo ambos os membros da equação:

• Usando o produto notável:

• Fazendo tentativas: a = 1 e b  = 1

• Resposta:

3 - O número real 

pertence ao conjunto

a) [– 5, – 3) 

b) [– 3, – 1)

c) [1, 1) 

d) [1, 3)

e) [3, 5)

Resolução:

• Elevando ao cubo ambos os membros:

• Usando o produto notável:

• Calculando o valor de a⋅b:

• Calculando o valor de a + b:

• Calculando o valor de:

• Substituindo esses valores em:

• Por tentativa: x = 1

• Resposta: Letra D

4 - Se

então o valor de y é igual a:

Resolução:

• Os radicais duplos podem ser escritos:

• Substituindo esses valores em:

5 - (COLEGIO NAVAL – 2011) O número real

é igual a:

• Vamos chamar o resultado de:

• Elevando ao cubo ambos os membros:

• Lembrando que:

• Logo:

• Portanto:

• Como não tem esse resultado nas alternativas, vamos manipular esse valor:

• Calculando a raiz quadrada de ambos os membros da igualdade:

• Resposta: Letra B.