Regra do produto das derivadas

A regra do produto é uma técnica utilizada na derivação, e é particularmente útil quando você tem a multiplicação de duas funções. A regra do produto nos diz como encontrar a derivada dessa multiplicação. Se você tem duas funções f(x) e g(x), ambas deriváveis, a derivada do produto dessas funções é dada por:

ou

Em outras palavras, a derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função, mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.

Vamos ilustrar isso com um exemplo prático. Suponha que você tem duas funções f(x) = x² e g(x) = sen(x). A derivada de f é f ’ = 2x, e a derivada de g é g’ = cos(x).

Aplicando a regra do produto, temos:

Esta é a derivada do produto x² ⋅ sen(x).

Exercícios:

1 - Usando a regra do produto, calcule a derivada da função y = (x² + 1)⋅(x⁴ – 2x).

Resolução:

2 - Determine a derivada da função f(x )= x⋅ln(x).

Resolução:

3 - Qual é a derivada da função y = e^x ⋅ cos(x)?

Resolução:

4 - Calcule a derivada da função y = (2x³ +3)⋅(4x + x²).

Resolução:

Usando a regra do produto:

y = (2x³ +3)’⋅(4x + x²) + (2x³ +3)⋅(4x + x²)’

y = 2⋅3x² ⋅(4x + x²) + (2x³ +3)⋅(4 + 2x)

y = 6x² (4x + x²) + (2x³ +3)(4 + 2x)