Derivadas parciais

As derivadas parciais são um conceito fundamental no cálculo multivariado, utilizado para analisar funções que dependem de várias variáveis independentes. Elas representam a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes.

Definição:

Dada uma função f(x,y,...) de várias variáveis, a derivada parcial de f em relação à variável x é denotada por ∂f/∂x e é definida como:

Interpretação:

A derivada parcial ∂f/∂x representa a taxa de variação da função f em relação à variável x, mantendo as outras variáveis constantes. Em outras palavras, é a taxa de variação da função ao longo da direção x.

Exemplos:

$\mathrm{1\; -\; Seja }$f(x, y) = x²y + 3xy²

 Para calcular em relação a y, tratamos x como uma constante:

2 - Se f(x, y, z) = x²y + z³, então:

Notação

Além de ∂f/∂x, é comum usar a notação f_x e f_y para as derivadas parciais.

Aplicações

Derivadas parciais são usadas em diversas áreas, como:

• Otimização: Encontrar máximos e mínimos de funções de várias variáveis.
• Equações diferenciais parciais: Modelar fenômenos físicos, como a propagação de calor ou ondas.
• Economia: Analisar funções de produção e utilidade.

Exercícios

1 - Dada a função f(x, y) = 2x + y², encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, com respeito às variáveis x e y.

Resolução:

2 - Encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função de duas variáveis f(x, y) = 2xy².

Resolução:

3 - Dada a função f(x, y) = 2x + 5y², obtenha:

Resolução:

a)

b)

c)

4 - Considere a função f(x, y) = 5x² +y⁴ – 2xy³, obtenha:

Resolução: