Números de Kaprekar

Os números de Kaprekar são uma curiosidade matemática fascinante que leva o nome do matemático indiano Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986). Ele apresentou-a na Conferência Matemática de Madras em 1949. Esses números têm uma propriedade especial relacionada ao processo de elevar ao quadrado e dividir em partes.

Definição

Um número de Kaprekar é um número inteiro não negativo $nn$ que, quando elevado ao quadrado e dividido em duas partes (uma contendo o mesmo número de dígitos que $nn$ e a outra contendo o restante dos dígitos), a soma dessas partes resulta em $nn$.

Propriedades

1. Formação: Números de Kaprekar podem ser encontrados em diferentes bases numéricas, mas são mais frequentemente estudados na base 10.

2. Lista de Exemplos: Alguns exemplos de números de Kaprekar incluem 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 7 777, 17 344, 142 857, 538 461, entre outros.

Significado

Os números de Kaprekar são mais do que apenas uma curiosidade matemática. Eles ilustram propriedades interessantes dos números e podem ser usados para explorar conceitos mais avançados em teoria dos números e matemática recreativa.

Exemplos

Vamos ver alguns exemplos para entender melhor:

a) Número 9:

• Elevar ao quadrado: $9^2=81$

• Dividir em partes: 8 e 1

• Soma das partes: $8+1=9$

• Portanto, 9 é um número de Kaprekar.

b) Número 45:

• Elevar ao quadrado: ${45}^2=\mathrm{2\; 025}$

• Dividir em partes: 20 e 25

• Soma das partes: $20+25=45$

• Portanto, 45 é um número de Kaprekar.

c) Número 55:

• Elevar ao quadrado: ${55}^2=\mathrm{3\; 025}$

• Dividir em partes: 30 e 25

• Soma das partes: $30+25=55$

• Portanto, 55 é um número de Kaprekar.

d) Número 703:

• Elevar ao quadrado: ${703}^2=\mathrm{494\; 209}$

• Dividir em partes: 494 e 209

• Soma das partes: $494+209=703$

• Portanto, 703 é um número de Kaprekar.

e) Número 7 777:

• Elevar ao quadrado: ${\mathrm{7\; 777}}^2=\mathrm{60\; 481\; 729}$

• Dividir em partes: 6 048 e 1 729

• Soma das partes: $\mathrm{6\; 048\; +\; 1\; 729\; =\; 7\; 777}$

• Portanto, 55 é um número de Kaprekar.

f) Número 17 344:

• Elevar ao quadrado: ${\mathrm{17\; 344}}^2=\mathrm{300\; 814\; 336}$

• Dividir em partes: 3 008 e 14 336 

• Soma das partes: 3 008 + 14 336 = 17 344

• Portanto, 17 344 é um número de Kaprekar.

g) Número 142 857:

• Elevar ao quadrado: ${\mathrm{142\; 857}}^2=\mathrm{20\; 408\; 122\; 449}$

• Dividir em partes: 20 408 e 122 449

• Soma das partes: 20 408 + 122 449 =142 857

• Portanto, 142 857 é um número de Kaprekar.

h) Número 538 461:

• Elevar ao quadrado: ${\mathrm{538\; 461}}^2=\mathrm{289\; 940\; 248\; 521}$

• Dividir em partes: 289 940 e 248 521

• Soma das partes: 289 940 + 248 521 = 538 461

• Portanto, 538 461 é um número de Kaprekar.

O mais conhecido dos resultados de Kaprekar é aquele que se relaciona com o número 6 174, hoje chamado de constante de Kaprekar.

Por exemplo:

1. Escolha qualquer número de quatro dígitos que seja composto por pelo menos dois dígitos diferentes, incluindo zero, por exemplo, 1 234.

2. Organize os dígitos em ordem decrescente, que em nosso exemplo seria 4 321.

3. Agora, organize os números em ordem crescente: 1 234

4. Subtraia o menor número do maior número: 4 321 - 1 234 = 3 087

5. E agora repita os últimos três passos

 

1. Vamos pegar esse último número: 3 087.

2. Organize os dígitos em ordem decrescente, que em nosso exemplo seria 8 730.

3. Agora, organize os números em ordem crescente: 0 378

4. Subtraia o menor número do maior número: 8 730 - 378 = 8 352

5. E agora repita os últimos três passos

 

1.Novamente vamos pegar esse último resultado: 8 352.

2. Organize os dígitos em ordem decrescente, que em nosso exemplo seria 8 532.

3. Agora, organize os números em ordem crescente: 2 358

4. Subtraia o menor número do maior número: 8 532- 2 358 = 6 174

 

Vamos testar com outro número: 2 024

4 220 – 0 224 = 1 800

8 100 – 0 018 = 8 082

8 820 – 0 288 = 8 532

8 532 – 2 358 = 6 174

7 641 – 1 467 = 6 174