Função composta

É um conceito fundamental em matemática que permite combinar funções para criar novas funções mais complexas.

Definição

Uma função composta é uma função que é obtida pela composição de duas ou mais funções. Em outras palavras, é uma função que é aplicada a outra função.

Notação

A função composta é denotada por (f ∘ g)(x) ou f(g(x)), onde:

- f é a função externa

- g é a função interna

- x é o argumento da função composta

Exemplos

1. Se f(x) = 2x + 1 e g(x) = x², então a função composta é (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 2x² + 1.

2. Se f(x) = sen(x) e g(x) = 2x, então a função composta é (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = sen(2x).

Propriedades

1. A função composta é uma função bem definida.

2. A função composta pode ser aplicada a qualquer argumento que esteja no domínio da função interna.

3. A função composta pode ser decomposta em funções mais simples.

Exercícios

1 - Seja f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x – 5. Calcular g(f(x)).

Resolução:

g(x) = 3x – 5

g(f(x)) = 3⋅f(x) – 5

g(f(x)) = 3⋅(2x + 3) – 5

g(f(x)) = 3⋅2x + 3⋅3 – 5

g(f(x)) = 6x + 9 – 5

g(f(x)) = 6x + 4

2 - Dada a função f(x) = 3x – 1, calcule (f ∘ f)(x).

Resolução:

 (f ∘ f)(x) = f(f(x))

f(x) = 3x – 1

f(f(x)) = 3⋅f(x) – 1

f(f(x)) = 3⋅(3x – 1) – 1

f(f(x)) =  9x  – 3 – 1

f(f(x)) = 9x  – 4

3 - Dada a função f(x) = x + 3 e a função g(x) = 2x – 5, o zero da função f(g(x)) é:

a) 0          b) 1          c) 2          d) – 1          e) – 2

Resolução:

f(x) = x + 3

f(g(x)) = g(x) + 3

f(g(x)) = 2x – 5 + 3

f(g(x)) = 2x – 2

Zero da função f(g(x)):

f(g(x)) = 0

2x – 2 = 0

2x = 2

4 - Dada as funções de lei de formação f(x) = 2x + 5 e g(x) =  – 3x + 1, podemos afirmar que o valor de f (g(1)) é igual a:

a) 0          b) 1          c) 2          d) 3          e) 4

Resolução:

f(x) = 2x + 5

f(g(x)) = 2⋅ g(x) + 5

f(g(x)) = 2⋅ (– 3x + 1) + 5

f(g(x)) =  – 6x + 2 + 5

f(g(x)) =  – 6x + 7

f(g(1)) =   – 6 ⋅1 + 7

f(g(1)) =   – 6 + 7

f(g(1)) = 1

5 – Dadas as funções f(x) = 5x + 2 e g(x) = x² – 3, determinar:    

      a) (f ∘ g)(x)                 b) (g ∘ f)(3) 

Resolução:

a) (f ∘ g)(x) = f(g(x))     

f(x) = 5x + 2

f(g(x)) = 5(x² – 3) + 2

f(g(x)) = 5x² – 15 + 2

f(g(x)) = 5x² – 13

b) (g ∘ f)(x) = g(f(x))

g(x) = x² – 3

g(f(x)) = (f(x))² – 3

g(f(x)) = (5x + 2)² – 3

g(f(x)) = (5x + 2)² – 3

g(f(x)) = (5x)² + 2⋅5x⋅2 + 2² – 3

g(f(x)) = 25x² + 20x + 4 – 3

g(f(x)) = 25x² + 20x + 1

g(f(3)) = 25⋅3² + 20⋅3 + 1

g(f(3)) = 25⋅9 + 60 + 1

g(f(3)) = 225 + 60 + 1

g(f(3)) = 286

6 - (Acafe - SC) Dadas as funções reais f(x) = 2x – 6 e g(x) = ax + b, se f[g(x)] = 12x + 8, o valor de a + b é:
a) 10          b) 13          c) 12          d) 20
Resolução:
f(x) = 2x – 6

f[g(x)] = 2g(x) – 6

f[g(x)] = 2(ax + b) – 6

f[g(x)] = 2ax + 2b – 6

Comparando as funções:

7 - (Fuvest - SP) Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) = x² + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x) é igual a:

a) 4.           b) 5.           c) 6.           d) 7.           e) 8.

Resolução:

f(g(x)) = g(x)

2[g(x)] – 9 = x² + 5x + 3

2(x² + 5x + 3) – 9 = x² + 5x + 3

2x² + 10x + 6 – 9 = x² + 5x + 3

2x² – x² + 10x  –  5x + 6 – 9 – 3 = 0

x² + 5x  – 3 – 3 = 0

x² + 5x  – 6 = 0

Soma dos valores absolutos das raízes:

| 1 | + | – 6 | = 1 + 6 = 7

Resposta letra (d).