Função inversa

É um conceito fundamental em matemática que permite "desfazer" uma operação. 

Definição
Uma função inversa é uma função que "desfaz" a ação de outra função. Seja f(x) uma função, então sua inversa é denotada por f ^– 1(x) e satisfaz:
f (f ^– 1(x)) = x

f ^– 1(f(x)) = x

Propriedades
1. Uma função tem inversa se, e somente se, for bijetora (um-para-um).
2. A função inversa é única.
3. A composição de uma função com sua inversa é a função identidade.

Tipos de funções inversas
1. Inversa de funções lineares: 

2. Inversa de funções quadráticas: 

depende da forma da parábola.

3. Inversa de funções trigonométricas: 

Passos para encontrar a função inversa

1. Verifique se a função é bijetora.
2. Troque x e y na equação.
3. Resolva para y.
4. Verifique se a função inversa é válida.

Exemplos
a) Se f(x) = 2x, então: 

y = 2x

Trocando x e y na equação:

b) Se f(x) = x², então:

y = x²

Trocando x e y na equação:

Exercícios

1 – Calcule a função inversa de f(x) = 2x + 5.

Resolução:

y = 2x +5

Trocando x e y na equação:

2 – Calcule a função inversa de f(x) = 2x – 10.

Resolução:

y = 2x – 10

Trocando x e y na equação:

3 – Dada f(x), (x ≠ 2)determine a sua inversa:

Resolução:

Trocando x e y na equação:

Colocando y em evidência:

4 – Dada a Função f(x), (x ≠ – 2), calcule f ^– 1(x), sendo:

Resolução:

Trocando x e y na equação:

Colocando y em evidência:

5 – Determine a inversa da função: 

Resolução:

Trocando x e y na equação:

6 – Calcule a inversa da função logarítmica:

Resolução:

Trocando x e y na equação:

Usando a definição de logaritmo: