Regra do quociente das derivadas

A regra do quociente é uma ferramenta extremamente útil no cálculo diferencial, usada para encontrar a derivada de uma função que é o quociente de duas outras funções diferenciáveis. Vamos dizer que temos duas funções u(x) e v(x), e queremos achar a derivada da função u(x) /v(x). A regra do quociente é dada por:

Ou seja, a derivada do quociente u(x) /v(x) é igual ao denominador v multiplicado pela derivada do numerador u′, menos o numerador u multiplicado pela derivada do denominador v′, tudo isso dividido pelo quadrado do denominador v².

Para visualizar isso melhor, vamos considerar um exemplo concreto. Suponha que derivar a função:

Vamos fazer:

Aplicando a regra do quociente, temos:

Simplificando:

Exercícios

1 - Determine a derivada da função:

Resolução:

Vamos fazer:

Usando a regra do quociente das derivadas:

Colocando x³ em evidência:

2 - Calcular a derivada da função:

Resolução:

Vamos fazer:

Usando a regra do quociente das derivadas:

Colocando x² em evidência:

Ângulos complementares

 Ângulos complementares são dois ângulos cuja soma é igual a 90 graus. Em outras palavras, se você somar as medidas de dois ângulos complementares, o resultado será sempre 90°.

Características dos Ângulos Complementares

1. Soma dos Ângulos: A soma de dois ângulos complementares é sempre 90°.

2. Relação: Se um ângulo é $\theta$, o ângulo complementar será $90\mathrm{°}- \theta$.

Exemplo

Se você tem um ângulo de 30°, o ângulo complementar será:

90° − 30° = 60°

Portanto, 30° e 60° são ângulos complementares.

Aplicações

Ângulos complementares são frequentemente usados em:

• Geometria: Para resolver problemas envolvendo triângulos retângulos.

• Trigonometria: Em identidades trigonométricas, como $\mathrm{sen}(90\mathrm{°}- \theta ) = \cos (\theta )$.

• Arquitetura e Engenharia: Para projetar estruturas e componentes que requerem ângulos precisos.

Exemplos

1 – Dois ângulos são complementares. Se um deles tem medida de 20º, qual a medida do outro? 

Resolução:

   x + 20º = 90º

   x = 90º – 20º

   x = 70º

2 – Determinar o valor do ângulo x na figura abaixo.

Resolução:

x + 30^o = 90^o

x = 90^o –  30^o

x = 60^o

3 – De acordo com a definição de ângulos complementares, indique a medida de x na figura que segue, observe que os ângulos são complementares.

    

 a) (   ) 20º             b) (   )  25º              c) (   ) 35º                d) (   )  40º

Resolução:

Trigonometria

Você

A trigonometria é a parte da matemática que lida com o estudo dos triângulos, especialmente os triângulos retângulos, e as relações entre seus ângulos e lados. Ela é fundamental em várias áreas, como engenharia, física, astronomia e até mesmo na música.

Funções Trigonométricas

As principais funções trigonométricas são:

Seno (sin): Em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo e o comprimento da hipotenusa.

Cosseno (cos): O cosseno de um ângulo é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa. 

Tangente (tan): A tangente de um ângulo é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo e o comprimento do cateto adjacente. 

Identidades Trigonométricas

Existem várias identidades trigonométricas importantes que são usadas para simplificar expressões e resolver equações. Algumas das mais comuns são:

☑ Identidade de Pitágoras:

☑ Identidade da Tangente:

Aplicações da Trigonometria

A trigonometria tem inúmeras aplicações práticas, incluindo:

☑  Engenharia: Para calcular forças e tensões em estruturas.

☑  Astronomia: Para determinar distâncias entre estrelas e planetas. 

☑   Navegação: Para calcular rotas e posições.

☑  Música: Para entender ondas sonoras e frequências.

Exemplos Práticos

☑ Construção: Usar trigonometria para calcular a altura de um edifício usando a sombra e o ângulo de elevação do sol.

☑ Física: Analisar o movimento de ondas e oscilações.

Ângulos Comuns

As tabelas trigonométricas geralmente incluem valores para ângulos comuns, como 0°, 30°, 45°, 60° e 90°. Aqui estão alguns exemplos dos valores dessas funções:

Ө	0º	30º	45º	60º	90º
Seno (Ө)	0				1
Cosseno (Ө)	1				0
tangente (Ө)	0		1		Indefinido

Exemplos

1 - Qual é o valor de y?

Resolução:

Na tabela:

2 - Na figura a seguir, há um triângulo retângulo com um de seus ângulos agudos medindo 60°. Determine o comprimento do lado representado pela letra x, em centímetros.

Resolução:

Na tabela:

3 -  Encontre a medida x no triângulo retângulo:

Resolução:

4 - Determine os valores de x e y no triângulo retângulo da figura:

Resolução:

ou como:

ou como:

5 – Num triângulo retângulo o cosseno de um ângulo B é igual a 1/3. Qual é o seno desse mesmo ângulo?

Resolução:

Vamos usar a identidade de Pitágoras: