Regra da cadeia

A regra da cadeia é uma técnica fundamental no cálculo diferencial usada para encontrar a derivada de uma função composta. Em termos simples, se você tem uma função h(x) = f(g(x)), a regra da cadeia permite calcular a derivada de ( h ) em relação a ( x ).
A fórmula básica da regra da cadeia é:

Exemplo prático:

1. Suponha que h(x) = sen(x³).
2. Identificamos as funções internas e externas: g(x) = x³ e f(u) = sen(u), onde u = g(x).
3. Derivamos cada função separadamente: g’(x) = 3x² e f’(u) = cos(u).
4. Aplicamos a regra da cadeia: h’(x) = cos(x³) ⋅ 3x².

Portanto, a derivada de sen(x³) é 3x² ⋅ cos(x³).

Exercícios:

1 - Encontre dy/dt, onde y = x² e x = 2t².

Resolução:

Usando a regra da cadeia:

Substituindo o valor de x:

Outra maneira de resolver é substituindo o valor de x em y:

2 - Calcule a derivada da função y, sendo:

Resolução:

Fazendo:

Então:

3 - Determine a derivada de y = ln(2x³ + 4x²).

Resolução:

Fazendo u = 2x³ + 4x²:

y = ln(2x³ + 4x²)

y = ln(u)

Calculando as derivadas parciais:

Então:

4 - Calcule a derivada da função

Resolução:

Fazendo:

Logo:

Racionalizando o denominador da fração: