Trigonometria

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A trigonometria é a parte da matemática que lida com o estudo dos triângulos, especialmente os triângulos retângulos, e as relações entre seus ângulos e lados. Ela é fundamental em várias áreas, como engenharia, física, astronomia e até mesmo na música.

Funções Trigonométricas

As principais funções trigonométricas são:

Seno (sin): Em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo e o comprimento da hipotenusa.

Cosseno (cos): O cosseno de um ângulo é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa. 

Tangente (tan): A tangente de um ângulo é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo e o comprimento do cateto adjacente. 

Identidades Trigonométricas

Existem várias identidades trigonométricas importantes que são usadas para simplificar expressões e resolver equações. Algumas das mais comuns são:

☑ Identidade de Pitágoras:

☑ Identidade da Tangente:

Aplicações da Trigonometria

A trigonometria tem inúmeras aplicações práticas, incluindo:

☑  Engenharia: Para calcular forças e tensões em estruturas.

☑  Astronomia: Para determinar distâncias entre estrelas e planetas. 

☑   Navegação: Para calcular rotas e posições.

☑  Música: Para entender ondas sonoras e frequências.

Exemplos Práticos

☑ Construção: Usar trigonometria para calcular a altura de um edifício usando a sombra e o ângulo de elevação do sol.

☑ Física: Analisar o movimento de ondas e oscilações.

Ângulos Comuns

As tabelas trigonométricas geralmente incluem valores para ângulos comuns, como 0°, 30°, 45°, 60° e 90°. Aqui estão alguns exemplos dos valores dessas funções:

Ө	0º	30º	45º	60º	90º
Seno (Ө)	0				1
Cosseno (Ө)	1				0
tangente (Ө)	0		1		Indefinido

Exemplos

1 - Qual é o valor de y?

Resolução:

Na tabela:

2 - Na figura a seguir, há um triângulo retângulo com um de seus ângulos agudos medindo 60°. Determine o comprimento do lado representado pela letra x, em centímetros.

Resolução:

Na tabela:

3 -  Encontre a medida x no triângulo retângulo:

Resolução:

4 - Determine os valores de x e y no triângulo retângulo da figura:

Resolução:

ou como:

ou como:

5 – Num triângulo retângulo o cosseno de um ângulo B é igual a 1/3. Qual é o seno desse mesmo ângulo?

Resolução:

Vamos usar a identidade de Pitágoras:

Média aritmética ponderada

A média aritmética ponderada é uma forma de calcular a média de um conjunto de valores, onde cada valor tem um peso diferente. Isso é útil quando alguns valores são mais importantes que outros.

Como é calculada a média aritmética ponderada?

A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor pelo seu peso correspondente, somando esses produtos e, em seguida, dividindo a soma pelo total dos pesos.

Fórmula

Onde:

 são os elementos do conjunto que queremos determinar a média;

 são os pesos.

Aplicações

A média aritmética ponderada é amplamente utilizada em diversas áreas, como:

☑ Educação: Para calcular a média final de um aluno, levando em conta a importância de cada prova ou trabalho.

☑ Finanças: Para calcular o retorno médio de um portfólio de investimentos, considerando o peso de cada ativo.

☑ Estatística: Para análises onde diferentes observações têm diferentes níveis de importância.

Exemplo

Suponha que você tenha três notas em uma disciplina, com os seguintes pesos:

Nota 1: 80, Peso: 2

Nota 2: 90, Peso: 3

Nota 3: 70, Peso: 1

A média ponderada seria calculada assim:

Exercícios

Exercícios

1 - Os 100 funcionários de uma empresa estão distribuídos em dois setores: Produção e Administração. Os funcionários de um mesmo setor recebem salários com valores iguais. O quadro apresenta a quantidade de funcionários por setor e seus respectivos salários.

Setor	Quantidade de funcionários	Salário (em real)
Produção	75	2 000,00
Administração	25	7 000,00

A média dos salários dos 100 funcionários dessa empresa, em real, é

a)  2 000,00

b) 2 500,00

c) 3 250,00

d) 4 500,00

e) 9 000,00

Resolução:

2 - Qual é a média ponderada dos números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, sabendo que seus respectivos pesos são 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 2 ?

Resolução:

3 - Uma equipe de handebol é formada por 12 jogadores. Três desses jogadores têm 20 anos, dois jogadores têm 26 anos, quatro jogadores têm 23 anos, e os demais têm 21 anos, 25 anos e 27 anos. Qual é a idade média aproximada dessa equipe?

Resolução:

Resposta: A idade média aproximada dessa equipe é de 23 anos.

4 - (Enem 2019) Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas, e anotar o número obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de frequência:

Número obtido	Frequência
1	4
2	1
4	2
5	2
6	1

A média, mediana e moda dessa distribuição de frequência são, respectivamente:
A) 3, 2 e 1
B) 3, 3 e 1
C) 3, 4 e 2
D) 5, 4 e 2
E) 6, 2 e 4

Resolução:

Cálculo de média:

Cálculo da :

Colocando os valores da frequência em ordem crescente:

A mediana é o termo do meio: 2

Temos duas modas: 1 e 2

Resposta: Letra A