Zeros da função quadrática

A função do segundo grau, também chamada função quadrática, possui a lei de formação do tipo:

             f(x) = ax² + bx + c     ou     y = ax² + bx + c

O gráfico da função quadrática, no plano cartesiano, é uma curva chamada de parábola.

                                            

Os valores de x quanto a parábola corta o eixo x são chamados de zeros (ou raízes) da função quadrática. Para encontrarmos esses valores, basta fazer y = 0 e calcular os valores de x na equação do 2º grau:  

ax² + bx + c = 0, usando a fórmula de Bhaskara:

 

A quantidade de zeros da função quadrática depende do discriminante Δ (delta):

Δ > 0 → a função terá dois zeros  (ou raízes) reais diferentes;

Δ = 0 → a função terá dois zeros (ou raízes) reais iguais;

Δ < 0 → a função não terá zeros (ou raízes) reais.

Δ > 0 

 

Δ = 0

 

Δ < 0 

Exercícios

1 - Determine os zeros das seguintes funções do 2º grau:

a) y = x² + 3x – 4     

Resolução:  

Fazendo y = 0, vamos ter a equação:

x² + 3x – 4 = 0               

a = 1,   b = 3   e   c = – 4. 

Calculando o valor de Δ:

Δ = b² – 4・a・c

Δ = 3² – 4.1.(– 4)

Δ = 9 + 16

Δ = 25

Como Δ > 0, a função terá dois zeros  (ou raízes) reais diferentes. 

Substituindo o valor de Δ por 25:

Podemos ter dois resultados:

Zeros: x = 1 e x = – 4.

b) y = 2x² – 8x

Resolução:

Fazendo y = 0, vamos ter a equação:

2x² – 8x = 0

a = 2,  b = – 8 e c = 0

Δ = b² – 4・a・c

Δ = (– 8)² – 4・2・0

Δ = 64 – 0

Δ = 64

Como Δ > 0, a função terá dois zeros  (ou raízes) reais diferentes. 

      

Resposta: Os zeros da função são: x = 0 e x = 4.

c) y = x² – 3x + 15

Resolução:

Fazendo y = 0, vamos ter a equação:

x² – 3x + 15 = 0

a = 1, b = – 3 e c = 15. 

Δ = b² – 4.a.c

Δ = (– 3)² – 4・1・15
Δ= (– 3)・ (– 3) – 60

Δ = 9 – 60

Δ = – 51

Resposta: Como Δ < 0, a função não tem zeros (ou raízes) reais.

2 - Calcule, se existir, os zeros da função quadrática y = x² + 2x – 15:

Resolução:

Fazendo y = 0, vamos ter a equação:

x² + 2x – 15 = 0

a = 1, b = 2 e c = – 15

Resposta: A função tem dois zeros (ou  raízes) diferentes: x = 3 e x = – 4

3 - Calcule, se existir, os zeros da função do 2º grau y =  x² + 10x + 25.

Resolução:

Fazendo y = 0, vamos ter a equação:

x² + 10x + 25 = 0

a = 1, b = 10 e c = 25

Resposta: A função tem dois zeros (ou raízes) reais e iguais: x = – 5

4 - A função f(x) = – x² – 6x – 9 corta o eixo x em:

a) x’ = 1 e x” = 1

b) x’ = – 3 e x” = – 3

c) x’ = 1 e x” = – 3

d) x’ = – 1 e x” = 3​

Resolução:

f(x) = 0

Resposta: A função tem dois zeros (ou raízes) reais e iguais: x = – 3