sábado, 13 de março de 2021

Exercícios com teorema de Pitágoras

teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. O triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medida de 90º. Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais: o maior lado é chamado de hipotenusa que é oposto ao ângulo reto e os lados menores chamados de catetos:
          
Teorema: O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

          
      Exercícios

1 - Determine a medida desconhecida da hipotenusa no triângulo retângulo da figura abaixo:
                            
Resolução:
• Pelo teorema de Pitágoras temos:
a² = b² + c²
x² = 4² + 3²
x² = 4·4 + 3·3
x² = 16 + 9
x² = 25

x = 5

2 - Calcule a medida x no triângulo da figura.
          

Resolução:

 Pelo teorema de Pitágoras temos:

a² = b² + c²
a² = b² + c²
 x² = 9² + 12²
 x² = 9·9 + 12·12
x² = 81 + 144
x² = 225

3 - Calcule a medida desconhecida do cateto no triângulo retângulo da figura abaixo.

          
Resolução:
• Pelo teorema de Pitágoras temos:

4 – Os catetos de um triângulo retângulo medem 5 cm e 12 cm. Determine sua hipotenusa.

Resolução:

 Usando o teorema de Pitágoras:

• Resposta: A medida da hipotenusa desse triângulo é de 13 cm.

5 – Qual é o valor de x?

          
Resolução:
 Usando o teorema de Pitágoras:
a2  = b+ c2
(3x – 2)2  = (2x – 2)+ x2
(3x)2  – 2⋅3x
2 + 22 = (2x) + 22x2 + 22 + x2
9x2 –12x + 4 = 4x2 + 8x + 4 + x2
9x2 – 4x2 – x2 – 12x – 8x = 4 – 4
4x2  – 20x = 0     : (4x)
x – 5 = 0  
x = 5

6 - Calcule as medidas desconhecidas dos lados do triângulo da figura.
          
Resolução:
 Pelo teorema de Pitágoras temos:
a2  = b+ c2
(x + 4)= x2 + (x + 2)2
x+ 2x4 + 42 = x2 + x2 + 2x2 + 22
x+ 8x + 16 = x2 + x2 + 4x + 4
x– x2 – x2 + 8x – 4x + 16 – 4
– x2 + 4x + 12 = 0    ✕(– 1)
x2 – 4x – 12 = 0

 Usando a fórmula de Bhaskara:

a = 1,    b = – 4   e   c = – 12 




 Como os lados do triângulo tem medidas x, x + 2 e x + 4:

x = 6
x + 2 ⇾  6 + 2 = 8
x + 4 ⇾  6 + 4 = 10
• Resposta: Os lados do triângulo são 6, 8 e 10.


7 - Em uma rua horizontal, a companhia elétrica de uma cidade vai estender um cabo partindo de um poste vertical ao solo, cuja altura é 7 metros, até uma casa, conforme a ilustração.

          

Se o topo da casa está a 3 m do solo e a distância do poste à casa é 12 m, qual é o comprimento aproximado do cabo? Adote √10 = 3,2 e uma casa decimal para aproximação.​

Resolução:
          

• Usando o teorema de Pitágoras:
• Resposta: O comprimento aproximado do cabo é de 12,8 metros.  

8 - (Fuvest) Na figura a seguir, ABC é um triângulo isósceles e retângulo em A, e PQRS é um quadrado de lado

          

Então, a medida do lado AB é:

a) 1           b) 2           c) 3           d) 4           e) 5

Resolução:

• Os triângulos BPS e QCR também são retângulos isósceles. Logo, os segmentos BP e QC são iguais a SP e RQ, respectivamente. Consequentemente, os segmentos BP, PQ e QC possuem a mesma medida. Portanto, a medida do lado BC é igual a 3 vezes a medida do lado do quadrado, ou seja:

          

• Considerando os lados AB e AC iguais a x, e utilizando o teorema de Pitágoras:

          


  

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