Inequação exponencial

Uma inequação exponencial é uma desigualdade que envolve uma variável no expoente. Essas inequações são importantes em várias áreas da matemática e são frequentemente encontradas em problemas de crescimento e decaimento exponencial, bem como em aplicações práticas como a modelagem de populações, finanças e física.

Passos básicos para resolver inequações exponenciais:

1. Identifique a inequação exponencial: Normalmente, ela terá a forma a^x > b, a^x < b, a^x ≥ b ou a^x ≤ b, onde a e b são constantes, e x é a variável.
2. Isolar o termo exponencial: Tente deixar a expressão na forma a^x sozinha em um dos lados da inequação.
3. Utilize logaritmos: Para resolver a inequação, você pode aplicar logaritmos dos dois lados da inequação. Isso permitirá que você "traga o expoente para baixo" e trabalhe com uma inequação linear ou polinomial.

Exemplo: 

Para a inequação 2^x > 5, você pode aplicar logaritmos (usando base 2 ou logaritmo natural):

      log (2^x) > log (5)

      Usando propriedades de logaritmos:

      x⋅log (2) > log (5)

     

      Fazendo uma mudança de base: 

      

Considere a base do expoente: Se a base a é maior que 1, a função exponencial é crescente, então a direção da desigualdade permanece a mesma ao tomar logaritmos. Se a base aa está entre 0 e 1, a função exponencial é decrescente, então a direção da desigualdade se inverte ao tomar logaritmos.

4. Resolva a inequação resultante: Depois de aplicar os logaritmos, resolva a inequação para a variável x.

Exemplo prático:

 Vamos resolver a inequação 3^2x ≤ 9.

1. Primeiro, reconhecemos que 9 pode ser escrito como 3²:

          3^2x ≤ 3²

2. Como as bases são iguais, podemos comparar os expoentes:

          2x ≤ 2

3. Dividindo ambos os lados por 2:

          x ≤ 1

          Portanto, a solução para a inequação é x ≤ 1.

Resumindo:

Para 

Para  

Exercícios 

1 – Qual é a solução da inequação exponencial:

Resolução:

S = {x ∈ ℝ| x > 2}

2 – Resolva a inequação exponencial 2^x ≥ 128.

Resolução:

2^x ≥ 128

Fatorando o número 128:

2^x ≥ 2⁷  ∴   x ≥ 7

S = {x ∈ ℝ| x ≥ 7}

3 – Resolva as inequações exponenciais em ℝ:

Resolução:

a) 2^{x + 7} < 32

Fatorando o número 32:

2^{x + 7} <  2⁵   ∴   x + 7 < 5

x < 5 – 7    ⇒    x < – 2

S = {x ∈ ℝ| x < – 2}

(2^{- 1})^{x + 1} ≥ (2²)^{x + 3}

2 ^{- x - 1} ≥ 2^{2x + 6}   ∴  – x – 1 ≥ 2x + 6

– x – 2x ≥ 6 + 1 ⇒  – 3x ≥ 7    X(– 1)

Solução:

4 – Resolva a inequação exponencial:

Resolução:

∴  – 6x + 15 ≤ – 3x – 3

– 6x + 3x ≤ – 3 – 15

– 3x ≤ – 18    X(– 1)

3x ≥ 18

S = {x ∈ ℝ| x ≥ 6}

5 – Resolva a inequação exponencial:

Resolução:

Solução:

6 – O conjunto solução da inequação

é:

a)( – ∞; 5]

b) [5; + ∞)

c) [– 5; + ∞)

d) [4; + ∞)

e) (– ∞; – 5]

Resolução:

Solução:

S = {x ∈ ℝ| x ≥ 5} ou  S = [5; + ∞)