Equações literais do 2º grau

As equações literais do 2º grau são aquelas que contêm coeficientes literais, ou seja, letras que representam números desconhecidos ou variáveis. Essas equações podem ser expressas da forma geral ax² + bx + c = 0, onde:

• a, b e c são coeficientes literais ou constantes;
• x é a variável ou incógnita que queremos determinar.

Para resolver uma equação literal do 2º grau, podemos seguir os seguintes passos:

1. Verifique se a equação está na forma padrão: Certifique-se de que a equação esteja organizada na forma ax² + bx + c = 0.
2. Identifique os coeficientes: Anote os valores de a, b e c.
3. Calcule o discriminante (Δ): O discriminante é dado por Δ = b² – 4ac. Ele nos ajuda a determinar o número e a natureza das raízes da equação.
• Se Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e distintas.
• Se Δ = 0, a equação tem uma raiz real dupla (ou duas raízes iguais).
• Se Δ < 0, a equação tem duas raízes complexas conjugadas.
4. Calcule as raízes: Usando a fórmula de Bhaskara, podemos encontrar as raízes da equação:

                  

Exemplos 

1 - Suponha que temos a equação 3x² + 5x + k = 0. Queremos encontrar k de tal forma que a equação tenha apenas uma raiz real. Para isso, precisamos que Δ = 0:

a = 3,     b = 5   e    c = k
Δ = b² − 4ac = 5² − 4⋅3⋅k
Para Δ = 0, temos:

          25 −12k = 0

          25 = 12k

         

Portanto, para que a equação tenha uma única raiz real, k deve ser igual a 12/25.

2 - Resolva a equação literal 5x² – 80a² = 0, sendo x a incógnita.

5x² – 80a² = 0  ⇒ 5x² = 80a² 

Solução: {– 4a; 4a}

3 – Para que valores de k a equação literal 2x² + 4x + 5k = 0, admita raízes reais e diferentes?

a = 2,     b = 4     e      c = 5k

Δ = b² – 4ac

Δ = 4² – 4⋅2⋅5k

Δ = 4⋅4 – 8⋅5k

Δ = 16 – 40k

Para isso, precisamos que Δ > 0:

16 – 40k > 0 ⇒ – 40k > –16

Multiplicando todos os membros dessa desigualdade por (– 1):

– 40k > –16 ⋅ (– 1)

40k < 16

 
Exercícios

1 – Resolva a equação literal 4x² – 100m² = 0, sendo x a incógnita.

Resolução:

4x² – 100m² = 0

Solução: {– 5m; 5m}

2 – Resolva a equação literal 8x² – 3ax = 0, sendo x a incógnita.

Resolução:

8x² – 3ax = 0

Colocando x em evidência:

x⋅(8x – 3a ) = 0

 x = 0

ou

8x – 3a = 0   ⇒ 8x = 3a

Solução:

3 – Resolva a equação literal x² – 3mx + 2m²  = 0, sendo x a incógnita.

Resolução:
x² – 3mx + 2m²  = 0

a = 1,     b = – 3m     e      c = 2m²

Δ = b² – 4ac

Δ = (– 3m)² – 4⋅1⋅2m²

Δ = 9m² – 8m²

Δ = m²

Solução: {2m; m}

4 – Para que valores de k a equação literal x² – 2x + k – 2 = 0, admita raízes reais e iguais?

Resolução:

x² – 2x + k – 2 = 0

a = 1,     b = – 2     e      c = k – 2

Δ = b² – 4ac

Δ = (– 2)² – 4⋅1⋅(k – 2)

Δ = (– 2)⋅(– 2) – 4⋅(k – 2)

Δ = 4 – 4k + 8

Δ = 12 – 4k

Para isso, precisamos que Δ = 0:

12 – 4k = 0 ⇒ – 4k = – 12

5 – Resolva a equação literal x² – (a – b)x – ab  = 0, na variável x.

Resolução:

x² – (a – b)x – ab  = 0

a = 1,     b = – (a – b)     e      c = – ab

Δ = b² – 4ac

Δ = (– a + b)² – 4⋅1⋅(– ab)

Δ = a² – 2ab + b² + 4ab

Δ = a² + 2ab + b²

Δ = (a + b)²

Solução: {0;  a + b}

6 – Resolva a equação literal x² – 3ax + 2a² = 0 (a > 0).

Resolução:

a = 1,     b = – 3a     e      c = 2a²

Δ = b² – 4ac

Δ = (– 3a)² – 4⋅1⋅2a²

Δ = 9a² – 8a²

Δ = a²

Solução: {x₁ = 2a   e  x₂ = a}

Solução: {x₁ = 2a   e  x₂ = a}

7 – Para que valores de k a equação literal 9x² + 12x + 2m = 0, não admita raízes reais?

Resolução:

9x² + 12x + 2m = 0

a = 9,     b = 12     e      c = 2m

Δ = b² – 4ac

Δ = 12² – 4⋅9⋅2m

Δ = 12⋅12 – 36⋅2m

Δ = 144 – 72m

Para isso, precisamos que Δ < 0:

144 – 72m < 0 ⇒ – 72m < –144

Multiplicando todos os membros dessa desigualdade por (– 1):

– 72m < –144   ⋅ (– 1)

72m > 144   

8 – Resolva a equação literal (x – k)² + (x + k)² = 6k², sendo x a incógnita.

(x – k)² + (x + k)² = 6k²

x² – 2kx + k² + x² + 2kx + k² = 6k²

2x² + 2k² – 6k² = 0

2x² – 4k² = 0

Dividindo ambos os membros dessa equação por 2:

2x²:2 – 4k²:2 = 0  ⇒  x² – 2k² = 0

x² = 2k²

Solução: