Equação modular

É uma equação que, no primeiro ou no segundo membro, tem termos em módulo. Para resolver problemas de equação modular, devemos aplicar a definição de módulo.

|x| = x, se x ≥ 0

|x| = – x, se x < 0

Exemplos

1 – Resolva a equação modular |x – 2| = 7.

Resolução:

• Usando a definição de módulo:
|x – 2| = 7 ⇒ x – 2 = 7 ⇒ x = 7 + 2 ∴ x = 9 

ou 

|x – 2| = – 7  ⇒  x – 2 = – 7  ⇒ x – 2 = – 7 + 2 ∴ x = – 5

• Solução: {9, – 5}

2 – Qual é a solução da equação modular |2x – 1| = |– x + 5|?

Resolução:

• Usando a definição de módulo:

|2x – 1| = |– x + 5|

2x – 1 = – x + 5 ⇒ 2x + x = 5 + 1

3x = 6 ∴ x = 2

ou

2x – 1 = – (– x + 5) ⇒ 2x – 1 = x – 5

2x – x = – 5 + 1 ∴ x = – 4

• Solução: {2, – 4}

3 – Determinar a solução da equação |x² – 5x| = 6.

Resolução:

• Usando a definição de módulo:

|x² – 5x| = 6  ⇒  x² – 5x = 6  ⇒  x² – 5x – 6 = 0

ou

|x² – 5x| = – 6 ⇒  x² – 5x = – 6  ⇒  x² – 5x + 6 = 0

• Usando a fórmula de Bhaskara para as equações do 2° grau:
• Para x² – 5x – 6 = 0:

a = 1, b = – 5 e c = – 6

• Para x² – 5x + 6 = 0:

a = 1,   b = – 5  e  c = 6

• Solução: {– 1, 2, 3, 6}

Exercícios

1 – Qual é a solução da equação modular |2x – 1| = – 3?

Resolução:

|2x – 1| = – 3

• Pela definição de módulo:

S = ∅

2 – Determinar a solução da equação||x – 3| – 1|= 6.

Resolução:

||x – 3| – 1|= 6   

|x – 3| – 1 = 6  ou   |x – 3| – 1 = – 6 

|x – 3| = 6 + 1         |x – 3| = – 6 + 1

|x – 3| = 7               |x – 3| = – 5 (Não existe!)

x – 3 = 7

x = 7 + 3

x = 10

ou

x – 3 = – 7

x = – 7 + 3

x = – 4

Solução: {10, – 4}

3 – Resolva a equação |x|² – 3|x| = 0.

Resolução:

|x|² – 3|x| = 0

• Fazendo |x|= y:

y² – 3y = 0

• Colocando y em evidência:

y(y – 3) = 0

y = 0

ou

y – 3 = 0 ⇒ y = 3

• Substituindo o valor de y em |x|= y:

|x|= 0  x = 0

e

|x|= 3   x = 3 ou x = – 3

• Solução: {– 3, 0, 3}

4 - Sabendo que as soluções da equação |x|² – |x| – 6 = 0 são raízes da equação x² – ax + b = 0, podemos afirmar que:

a) a = 1  e  b = 6.

b) a = 0  e  b = – 6.
c) a = 1  e  b = – 6.
d) a = 0  e  b = – 9.
e) não existe a e b tais que x² – ax + b = 0 contenha as raízes da equação dada.

Resolução:

|x|² – |x| – 6 = 0

• Fazendo |x| = y:

y² – y – 6 = 0

• Usando a fórmula de Bhaskara:

a = 1,     b = – 1    e   c = – 6

• Como |x| = y:

|x| = 3 ⇒ x = 3 ou x = – 3

e

|x| = – 2   Não existe!

• Substituindo x = 3 e x = – 3 em:

x² – ax + b = 0

3² – a⋅3 + b = 0 ⇒ – 3a + b = – 9    (1)

e

(– 3)² – a⋅ (– 3) + b = 0 ⇒ 3a + b = – 9    (2)

• Somando (1) com (2):

– 3a + b = – 9
   3a + b = – 9   

• Substituindo o valor de b em (2):

3a + b = – 9 ⇒ 3a – 9 = – 9 ⇒ 3a = – 9 + 9

3a = 0 ⇒ a = 0

• Resposta: Letra D