Inequações modulares

Uma inequação modular é uma expressão matemática que envolve módulos (ou valores absolutos). A função módulo, denotada por |x|, representa a distância de x até zero na reta numérica, sempre resultando em um valor não negativo. 

Por exemplo, |3| = 3 e ∣−3∣ = 3.

Definições de inequações modulares

|x| > a ⇒ x > a ou x < – a

|x| < a ⇒ x < a ou x > – a

|x| ≥ a ⇒ x ≥ a ou x ≤ – a

|x| ≤ a ⇒ x ≤ a ou x ≥ – a   

Exemplos de inequações modulares

1. Simples:
• |x| < 3 significa que os valores de x estão a menos de 3 unidades de distância de 0. Isso se traduz na inequação − 3 < x < 3.
2. Mais complexas:
• |x − 2| > 5 significa que a distância entre x e 2 é maior que 5. Isso se traduz em duas inequações: x −2 > 5 ou x − 2 < − 5, resultando em x > 7 ou x < − 3.

Passos para resolver inequações modulares

1. Entender a definição do módulo:
• Transforme a inequação modular em duas inequações sem módulo, conforme a definição de valor absoluto.
2. Resolver cada uma das inequações resultantes:
• Trabalhe com cada uma das desigualdades separadamente e encontre as soluções.
3. Unir as soluções:
• Combine os intervalos de solução obtidos para determinar o intervalo total de solução.

Exemplo 1

Resolver ∣x +1∣ ≤ 4.

1. Remover o módulo:
• − 4 ≤ x + 1 ≤ 4.
2. Isolar x:
• Subtrair 1 de todos os lados: 
• − 5 ≤ x ≤ 3.

A solução é o intervalo x ∈ [− 5; 3].

Exemplo 2

Resolver ∣2x −3∣ > 7.

1. Remover o módulo:
• 2x – 3 > 7 ou 2x – 3 < − 7.
2. Resolver cada desigualdade:
• 2x > 10 ou 2x < − 4.
• x > 5 ou x < − 2.

Solução: x ∈ (−∞, −2) ∪ (5, ∞).

Exercícios

1 – Resolva a equação modular |x – 1| < 4.

x – 1 < 4     ou      x – 1 > – 4.

x < 4 + 1               x > – 4 + 1

x < 5                        x > – 3

S = ] – 3; 5[ 

2 – Resolva a equação modular |2x – 1| ≥ x + 1.

Resolução:

|2x – 1| ≥ x + 1

2x – 1 ≥ x + 1    ou    2x – 1 ≤ – (x + 1)

2x – 1 ≥ x + 1            2x – 1 ≤ – (x + 1)

2x – x ≥ 1 + 1            2x – 1 ≤ – x – 1

x ≥ 2                          2x + x ≤ – 1 + 1

                                  3x ≤ 0

                                  x ≤ 0

       S = {𝑥 ∈ ℝ | x ≤ 0 ou x ≥ 2}

       ou

       S = ] − ∞, 0 ] Ս [2, + ∞[

3 – Dada a equação modular |x² – 5x + 2| < 2, qual é sua solução?

Resolução:

|x² – 5x + 2| < 2

x² – 5x + 2 < 2       ou    x² – 5x + 2 > – 2

x² – 5x + 2 – 2 < 0         x² – 5x + 2 + 2 > 0

x² – 5x < 0                     x² – 5x + 4 > 0

x = 0 ou x = 5                x = 1 ou x = 4

  

            

S = ]0; 1[  Ս  ]4; 5[

4 – Resolva a equação modular |2x – 1| > |x + 3|.

Resolução:

|2x – 1| > |x + 3|

2x – 1 > x + 3       ou     2x – 1 < – (x + 3)

2x – x > 3 + 1                2x – 1 < – x – 3

x > 4                               2x + x < – 3 + 1

                                       3x < – 2 

  

          S = ] –∞; – 2/3 [ Ս ] 4; +∞[

5 – Resolva as seguintes inequações modulares:

a) |x + 3| < 4

b) 2|3 – x| ≥ 5

Resolução:

a) |x + 3| < 4

x + 3 < 4           e           x + 3 > – 4

x < 4 – 3                   x > – 4 – 3

x < 1                        x > – 7

S = ] – 7; 1[

b) 2|3 – x| ≥ 5

2(3 – x) ≥ 5      ou     2(3 – x) ≤ – 5   

6 – 2x ≥ 5                  6 – 2x ≤ – 5

– 2x ≥ 5 – 6               – 2x ≤ – 5 – 6

– 2x ≥ – 1 ⋅ (– 1)      – 2x ≤ – 11 ⋅ (– 1)      

2x ≤ 1                        2x ≥ 11

Solução: x ∈ ] −∞, ½] ∪ [11/2, ∞[

6 – Quais números inteiros satisfazem a desigualdade 1 ≤ |– 2x + 3|  ≤ 4.

Vamos dividir essa inequação em duas partes:  

Primeira parte: |– 2x + 3| ≥ 1     

– 2x + 3 ≥ 1         ou         – 2x + 3 ≤ – 1

– 2x ≥ 1 – 3                      – 2x ≤ – 1 – 3

– 2x ≥ – 2   ⋅ (– 1)            – 2x ≤ – 4  ⋅ (– 1)

2x ≤ 2                               2x ≥ 4

Segunda parte: |– 2x + 3| ≤ 4

– 2x + 3 ≤ 4        ou      – 2x + 3 ≥ – 4

– 2x ≤ 4 – 3                  – 2x ≥ – 4 – 3

– 2x ≤ 1 ⋅ (– 1)             – 2x ≥ – 7 ⋅ (– 1)

2x ≤ – 1                        2x ≥ 7 

   

Resposta: Os números inteiros que satisfazem a desigualdade são: 0, 1, 2, e  3.