Equação da circunferência

A equação geral da circunferência é x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0. Já a equação reduzida da circunferência no plano cartesiano é (𝑥 − 𝑎)² + (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟². 

Equação geral da circunferência

• A equação geral da circunferência pode ser obtida a partir da equação reduzida. 
• Para obter a equação geral, basta desenvolver os produtos notáveis da equação reduzida

Equação reduzida da circunferência 

• A equação reduzida da circunferência é utilizada para representar a circunferência no plano cartesiano.
• Para encontrar a equação reduzida de uma circunferência, é preciso conhecer o raio e as coordenadas do centro.

(𝑥 − 𝑎)² + (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟²

Na equação, C(a, b) representa as coordenadas do centro da circunferência e 𝑟 é o comprimento do raio.

          

Exemplos

• a equação (x − 3 + (y − 4)² = 169  ⇒  (x − 3)² + (y − 4)² = 13², representa uma circunferência com centro em C(3,4) e raio r =13.

• a equação x² + y² = 0  ⇒   (x – 0)² + (y – 0)² = 0², representa uma circunferência centrada na origem O(0, 0)do sistema de coordenadas e raio 0.

• a equação (x + 4)² + (y – 4)² = 81  ⇒  (x + 4)² + (y – 4)² = 9², representa uma circunferência de centro C (– 4, 4) e raio 9.

• a equação x² + (y – 3)² = 25   ⇒   (x – 0)² + (y – 3)² = 5², representa uma circunferência de centro C(0 ,3) e raio 5.

Comprimento da circunferência

• O comprimento da circunferência é calculado pela fórmula C = 2πr. 
• O comprimento da circunferência é igual a duas vezes o raio vezes o número pi. 

Área do círculo delimitado por uma circunferência

• Para calcular a área da círculo, multiplique o quadrado do valor do raio por π.
• A = πr²

Transição da equação geral da circunferência para a equação reduzida:

Exemplo: Um a circunferência possui centro em C(4, 2) e raio 5. Sabendo dessas informações, determine a equação geral dessa circunferência.

• Fazendo a = 4,   b = 2   e   r = 5 em:

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

x² + y² – 2⋅4⋅x – 2⋅2⋅y + 4² + 2² – 5² = 0

x² + y² – 8x – 4y + 16 + 4 – 25 = 0

x² + y² – 8x – 4y + 20 – 25 = 0

x² + y² – 8x – 4y – 5 = 0

Exercícios

1 - A equação geral da circunferência que possui raio 6 e centro C(3, – 4) é? 

a) x² + y² + 6x – 5 = 6

b) (x – 3)² + (y + 4)² = 36

c) (x + 3)² + (y – 4)² = 36

d) x² + y² – 6x + 8y – 11 = 0

e) x² + y² + 6x + 8y + 11 = 0

Resolução: 

• Fazendo a = 3,   b = – 4   e   r = 6 em:

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0

x² + y² – 2⋅3⋅x – 2⋅ (– 4) ⋅y + 3² + (– 4)² – 6² = 0

x² + y² – 6x + 8y + 9 + (+ 16) – 36 = 0

x² + y² – 6x + 8y + 9 + 16 – 36 = 0

x² + y² – 6x + 8y – 11 = 0

2 - Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C(6, 3) e raio 4.

Resolução:  

• Fazendo a = 6,   b = 3   e   r = 4 em:

(𝑥 − 𝑎)² + (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟²

(𝑥 − 6)² + (𝑦 − 3)² = 4²

(𝑥 − 6)² + (𝑦 − 3)² = 16

3 - Dada a equação geral da circunferência x² + y² – 12x + 4y – 9 = 0, determine.

a) o centro C e a medida do raio r dessa circunferência;

b) o comprimento dessa circunferência;

c) a área do círculo delimitado por essa circunferência.

Resolução:  

a) x² + y² – 12x + 4y – 9 = 0

• Somando 6² e 2² em ambos os membros da equação:

x² + y² – 12x + 6² + 4y + 2² = 9 + 6² + 2²

x² + y² – 12x + 6² + 4y + 2² = 9 + 36 + 4

x²– 2⋅6⋅x + 6² + y² + 2⋅2⋅y + 2² = 49

• Usando a fatoração de trinômio quadrado perfeito:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

a² – 2ab + b² = (a – b)²

(x – 6)² + (y + 2)² = 7²

• Comparando com a expressão:

(x – a)² + (y – b)² = r² 

• Teremos: Centro C(6, – 2) e o raio r = 7.

b) Fazendo r = 7  e   π = 3,14 em:

C = 2πr
C = 6,28⋅7

C = 43,96 unidades de comprimento

c) A = πr²
A = 3,14⋅7²
A = 3,14⋅49
A = 153,86 unidades de área