Arranjo simples

Um arranjo é uma maneira de organizar parte de um conjunto de elementos em ordem. O que diferencia os arranjos das combinações é que, nos arranjos, a ordem dos elementos importa.

Fórmula do Arranjo

A fórmula para calcular o número de arranjos é:

Onde:

• ( n ): número total de elementos no conjunto.
• ( p ): número de elementos escolhidos para formar o arranjo.
• ( ! ): fatorial, que é a multiplicação de todos os números inteiros positivos até o número especificado.

Exemplo Prático

Imagine que você tem três letras: A, B e C, e deseja formar arranjos de duas letras.

Aqui estão os possíveis arranjos:

• AB
• AC
• BA
• BC
• CA
• CB

Nesse caso:

• ( n = 3 ) (total de letras: A, B, C),
• ( p = 2 ) (escolher duas letras).

Usando a fórmula:

Há 6 arranjos possíveis, como visto no exemplo acima.

Aplicações

Os arranjos têm inúmeras aplicações, como:

• Planejamento de cronogramas.
• Cálculo de probabilidades em jogos.
• Organização de tarefas ou equipes.

Exercícios

1 - (ITA - SP) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9?

a) 60     b) 120     c) 240     d) 40     e) 80

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: Letra B

2 - De um grupo de 20 alunos, dois devem ser escolhidos para montar uma chapa e concorrer a eleição de presidente e vice presidente de um grêmio estudantil. Quantas chapas distintas podem formadas?

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: 380 chapas distintas.

3 - Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados?

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: 60 números.

4 - (COPESE - UFT - 2018) Em um ônibus coletivo de Palmas, há 7 (sete) lugares vagos. De quantas maneiras diferentes podem 2 (duas) pessoas se sentar?

a) 5              b) 14              c) 42               d) 49

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: Letra C.

5 - Quantos números com 3 algarismos diferentes podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Resolução:

Usando a fórmula:

Resposta: 504 números.

6 - Um cadeado possui 3 rodelas numeradas de 0 a 9. Quantas combinações com 3 algarismos diferentes existem?

Resolução:

Resposta: 720 combinações diferentes.

7 - Em uma competição de programação, participam 10 programadores. A premiação é feita aos dois primeiros colocados. De quantas maneiras a premiação pode ocorrer?

Resolução:

Resposta: 90 maneiras.

8 - (UEL/2003) Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {0,1,2,3,4}. O total de funções injetoras de A para B é:

a) 60              b) 15             c) 60             d)120              e) 125

Resolução:

Em uma função injetora, cada elemento do conjunto A tem um único correspondente em B.
Para saber quantas funções injetora possui, vamos fazer um arranjo:

Usando a fórmula:

Resposta: Portanto, o total de funções injetoras de A para B é 60. 

9 - (CONSULTEC - 2010 - PM-BA) Após um assalto, várias testemunhas foram ouvidas, mas não houve consenso quanto à placa do automóvel usado pelo assaltante na sua fuga. Através das informações dessas testemunhas, concluiu-se que a placa do veículo era constituída de 3 vogais distintas e quatro algarismos também distintos, sendo que os dois últimos algarismos eram os dígitos 0 e 1.

Com base nesses dados, pode-se afirmar que o número de veículos a ser investigados é

a) 560     b) 1120     c) 3360     d) 6720     e) 8240

Resolução:

• Existem 5 vogais no nosso alfabeto, então, trata-se de um arranjo de 5 elementos tomados de 3 em 3: A_5,3
• Escolhendo 2 números, diferentes de 0 e de 1, já que os algarismos também são distintos, ou seja, há 8 possibilidades, e vamos escolher de 2 em 2: A_8,2

Pelo princípio multiplicativo vamos ter:

Resposta: São 3 360 o número de veículos a ser investigados.