O estudo das combinações é outro pilar importante da combinatória, concentrando-se na seleção de elementos de um conjunto, sem considerar a ordem. Ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem não importa.
Fórmula da Combinação
A fórmula para calcular o número de combinações é:
- ( n
): número total de elementos no conjunto.
- ( p
): número de elementos escolhidos.
- ( !
): fatorial, representando o produto de todos os números inteiros
positivos até o número especificado.
Exemplo Prático
Imagine que você tem três frutas: maçã (M), banana
(B) e laranja (L). Você deseja formar grupos de duas frutas, mas a
ordem não importa.
Os grupos possíveis seriam:
- MB
- ML
- BL
Nesse caso:
- ( n
= 3 ) (total de frutas: maçã, banana, laranja),
- ( p
= 2 ) (escolher duas frutas).
Usando a fórmula:
Há 3 combinações possíveis, como verificamos acima.
Aplicações
As combinações são amplamente utilizadas em situações como:
- Escolha
de equipes ou grupos.
- Cálculo
de probabilidades em jogos de azar, como loterias.
- Planejamento
de eventos, como a formação de comitês.
1 - Quantas duplas diferentes podem ser formadas com 10 pessoas?
a) 5 b) 10 c) 20 d) 45 e) 90
2 - Treze competidores disputam um campeonato de xadrez em que cada competidor joga uma vez com todos os outros. Quantos jogos serão realizados nesse campeonato?
a) 26 b) 65 c) 78 d) 130 e) 169
Resolução:
3 - Com as pessoas A, B, C, D e E, quantas comissões de 3 membros podem ser formadas?
Usando a fórmula:
Resposta: 10 comissões.
a) 240 b) 80
c) 40 d) 60 e) 120
Cinco homens: C5,3
Quatro mulheres: C4,3
Dez meninas: C10,3
Oito meninos: C8,2
Resposta: Letra C
6 - (Enem 2021) Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando
como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras
ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras
ornamentais distintas. A quantidade de fantasias com materiais diferentes que
podem ser produzidas é representada pela expressão:
Há duas combinações para serem calculadas:
1º Calcula o número de maneiras distintas que o tecido pode ser escolhido, uma combinação de 6 elementos tomados de 2 em 2: C6,2
2º Calcula a combinação de 15 elementos tomados de 5 em 5: C15,5
Pelo princípio multiplicativo, temos que:
De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por:
A) C12,4 × C12,3 × C12,3 × C12,2
B) C12,4 + C12,3 + C5,3 + C2,2
C) C12,4 × 2 × C8,3 × C8,3 ×
C5,2
D) C12,4 + C8,3 + C5,3 + C2,2
E) C12,4 × C8,3 × C5,3 × C2,2
Resolução:
Queremos 4 vagões vermelhos: C12,4.
Após escolher os vagões vermelhos, queremos 3 vagões azuis: C8,3.
Dos 5 restantes, escolheremos 3 para serem verdes C5,3.
Por fim, os últimos 2 serão amarelos: C2,2.
Pelo princípio multiplicativo, temos que:
C12,4 × C8,3 × C5,3 × C2,2
Resposta: Letra E
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