Permutação com repetição

A permutação com repetição é uma parte fascinante da matemática combinatória. Quando falamos sobre permutação, geralmente nos referimos a diferentes maneiras de organizar um conjunto de elementos. No caso específico da permutação com repetição, estamos lidando com situações onde alguns dos elementos podem ser idênticos.

A fórmula geral para calcular o número de permutações com repetição é:

Onde:

• n é a quantidade de maneiras distintas de se permutar n;
• a, b, c, ... são as quantidades de elementos repetidos.

 Essa fórmula ajusta o total de permutações possíveis, eliminando os casos redundantes causados pela repetição de elementos.

Exemplos: 

1 – Quantos anagramas possui a palavra BOLO?

Resolução:

A palavra BOLO possui 4 letras, sendo 2 letras iguais (O). Assim, terá:

Resposta: 12 anagramas.

2 – Quantos anagramas possui a palavra BANANA?

Resolução:

Na palavra "BANANA", temos 6 letras no total (n = 6) e algumas se repetem (3 "A"s e 2 "N"s), usamos:

Fazendo: a = 3, b = 2 e n = 6:

3 – Quantos anagramas possui a palavra ARACAJU?

Resolução:

A palavra ARACAJU possui 7 letras, sendo 3 letras iguais (A). Assim, terá:

Resposta: 840 anagramas.

4 – Um fotógrafo está ajustando sua câmera para fotografar 5 crianças dispostas em um banco. Neste grupo há 3 meninas e 2 meninos. Uma possível arrumação das crianças para a foto seria:

menina, menino, menina, menino, menina

Considerando as posições nas quais as crianças podem se sentar no banco, de quantas formas o fotógrafo pode organizar os meninos e as meninas, obtendo fotos diferentes?

Resolução: 

• Total de letras: n = 5
• Repetições: A se repete 2 vezes (a = 3), N se repete 2 vezes (b = 2)
• 
  
  Cálculo:

Este é um caso de permutação com elementos repetidos:

Resposta: O fotógrafo pode organizar os meninos e as meninas, obtendo 10 fotos diferentes.

5 – Considere a palavra "ANNA". Para calcular o número de anagramas dessa palavra.

Resolução: 

• Total de letras: n = 4
• Repetições: A se repete 2 vezes (a = 2), N se repete 2 vezes (b = 2)
• 
  
  Cálculo:

Resposta: Existem 6 anagramas distintos para a palavra "ANNA". 

6 – Com a palavra CORRENTE quantos anagramas podemos formar?

• Total de letras: n = 8
• Repetições: R se repete 2 vezes (a = 2), E se repete 2 vezes (b = 2)

• 
  
  Cálculo:

Resposta: Existem 11 520 anagramas distintos para a palavra " CORRENTE". 

7 - (UERJ 2015/2) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo:

(B,B,M,C,M,C) ou (B,M,M,C,B,C) ou (C,M,M,B,B,C)

O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a:

a) 6            b) 90            c) 180            d) 720

Total de picolés: n = 6

Repetições: B se repete 2 vezes (a = 2), M se repete 2 vezes (b = 2) e C de repete 2 vezes (c = 2)

Calculo:

Resposta: São 90 número total de modos distintos de consumir os picolés.

8 – Com a palavra MORRER:

a) quantos anagramas podemos formar?
b) quantos anagramas começam por M?
c) quantos anagramas começam por consoante?
d) quantos anagramas terminam por E?
e) quantos anagramas começam por consoante e terminam por vogal?

Resolução: 

a)   Total de letras: n = 6

Repetições: R se repete 3 vezes (a = 3)

Cálculo:

Resposta: Existem 120 anagramas distintos para a palavra " MORRER". 

b) Fixando M, sobram 5 letras:

    Repetições: R se repete 3 vezes (a = 3)

    Cálculo:

Resposta: 20 anagramas.

c) Situação 1: Começando com M

Situação 2: Começando com R:

Total de anagramas: 20 + 60 = 80

Resposta: 80 anagramas.

d) 

Resposta: 20 anagramas.

e) Situação 1: Começando com M

Situação 2: Começando com R:

Total de anagramas: 8 + 24 = 32

Resposta: 32 anagramas.