Permutação circular

As permutações circulares são um ramo interessante da análise combinatória. Enquanto nas permutações lineares a ordem dos elementos importa e há um ponto inicial definido, nas permutações circulares trabalhamos com arranjos em torno de um círculo, onde o ponto inicial é irrelevante.

Por exemplo, pense em pessoas sentadas ao redor de uma mesa redonda. A disposição das pessoas em torno da mesa não muda se girarmos todos os assentos para a esquerda ou para a direita: o que importa é quem está ao lado de quem. Por isso, nas permutações circulares, eliminamos as repetições que surgem devido a rotações.

Fórmula Básica: Se você tem (n) objetos e quer organizá-los em torno de um círculo, o número de permutações circulares é dado por:

PC_n = (n – 1)!

Por que (n – 1)! É porque uma das posições no círculo pode ser fixada, e as outras (n – 1) são permutadas em relação a essa posição fixa.

Exemplos:

1. Caso simples: Para 4 pessoas ao redor de uma mesa, o número de permutações circulares é:

PC₄ = (4 – 1)! = 3! = 6

2. Generalização: Se houver 10 objetos organizados circularmente, o número de formas distintas de ordená-los será:

PC₁₀ (10 – 1)! = 9! = 362 880

Aplicações Práticas:

•  Disposição de convidados em mesas redondas.
• Design de circuitos circulares.
• Problemas de DNA ou proteínas com estruturas em ciclos.

Exercícios

1 - Cinco crianças (A, B, C, D e E) desejam dar as mãos de modo a formar uma roda. De quantas maneiras distintas isso pode ser feito?

Resolução:

PC_n = (n – 1)!

PC₅ = (5 – 1)! = 4! = 4⋅3⋅2⋅1

PC₅ = 12⋅2

PC₅ = 24

2 - Na escola “Aluno Feliz”, as reuniões são feitas em uma mesa redonda. De quantas formas diferentes podemos organizar 8 professores em uma reunião ao redor desta mesa?

a) 60.          b) 120.          c) 720.           d) 5 040.           e) 10 080. 

Resolução:

PC_n = (n – 1)!

PC₈ = (8 – 1)! = 7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1

PC₈ = 42⋅20⋅6⋅1

PC₈ = 5 040

3 - Seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos distintos estes cientistas podem sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma experiência sem que haja repetição das posições?

Resolução:

PC_n = (n – 1)!

PC₁₀ = (10 – 1)! = 9! 

PC₁₀ = 9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1

PC₁₀ = 72⋅42⋅20⋅6⋅1

PC₁₀ = 362 880

4 - A roda gigante sempre foi o brinquedo favorito de casais nos parques de diversões. Certa roda gigante é constituída de 15 assentos duplos que serão ocupados por 15 casais.

De quantas formas distintas esses casais podem ser dispostos de modo que cada casal permaneça junto?

Resolução:

PC_n = (n – 1)!

PC₁₅ = (15 – 1)! = 14!

5 - De quantos modos 7 crianças podem brincar de roda, de modo que João e Maria, 2 destas crianças, fiquem sempre juntas?

PC₆ = (6 – 1)! = 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1

PC₆ = 20⋅6⋅1

PC₆ = 120

Ainda permutando João e Maria: 2! = 2⋅1 = 2

Pelo princípio multiplicativo: 

2⋅120 = 240

6 - Fábio, Denise e Ledo vão brincar de roda, juntamente com outras 5 pessoas. De quantas formas esta roda poderá ser formada, de modo que os 3 fiquem juntos, mas com Denise entre Fábio e Ledo?

Resolução:

A solução envolve tratar os três amigos Fábio, Denise e Ledo como uma única unidade:

PC₆ = (6 – 1)! = 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1

PC₆ = 20⋅6⋅1

PC₆ = 120

Há duas maneiras em considerar Denise entre Fábio e Ledo:

Fábio

Denise

Ledo

Ledo

Denise

Fábio

Pelo princípio multiplicativo: 2⋅120 = 240

Resposta: A roda pode ser formada de 240 maneiras.