Permutação simples

Permutação simples é um conceito fundamental na área de combinatória, que é um ramo da matemática. Ela refere-se às diferentes maneiras pelas quais um conjunto de elementos distintos pode ser reorganizado ou arranjado em uma sequência. 

• O que é uma permutação simples?

Uma permutação simples é toda arrumação possível de elementos distintos, sem repetição, onde a ordem importa.

A fórmula para calcular o número de permutações de n elementos distintos é:

P_n = n!

Onde n! (lê-se "fatorial de n") é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até n. 

n! = n × (n−1) × (n−2) × ⋯ × 2 × 1

Exemplos:

1 – Calcule o número de anagramas diferentes que é possível formar com as letras A, B, e C.

• Para 3 elementos (A, B, C), temos:
  P₃ = 3! = 3 × 2 × 1 = 6
  Ou seja, os anagramas possíveis são: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

2 – Listar todos os números que podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3 e 4, são eles:

• Para 4 elementos:

      P₄ = 4! = 4×3×2×1 = 24

(1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321)          

Aplicações

As permutações simples aparecem em situações como:

• Organizar senhas de caracteres distintos.
• Determinar a ordem de chegada em uma competição.
• Formar anagramas com letras diferentes.

Exercícios

1 – Dois amigos estavam brincando de lançar dados de seis faces. Sabe-se que saíram os números 4, 1, 2 e 5, não necessariamente nesta ordem. Quantas sequências de resultados poderiam ter acontecido?

Resolução:

P₄ = 4! = 4×3×2×1 = 24

2 – Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares?

Resolução:

P₅ = 5! = 5×4×3×2×1 = 120

3 – Calcule o número de anagramas diferentes que é possível formar com a palavra REI.

Resolução:

P₃ = 3! = 3×2×1 = 6

4 – (UFSM - RS) Para cuidar da saúde, muitas pessoas buscam atendimento em cidades maiores onde há centros médicos especializados e hospitais mais equipados. Muitas vezes, o transporte até essas cidades é feito por disponibilizadas pelas prefeituras. Em uma com 10 assentos, viajarão 9 passageiros e o motorista. De quantos modos distintos os 9 passageiros podem ocupar suas poltronas na van?

a) 4 032

b) 36 288

c) 40 320

d) 362 880

e) 403 200

P₉ = 9! = 9×8×7×6×5×4×3×2×1

= 72×42×20×6×1

= 362 880

5 – (Fatec - SP) Uma pessoa dispõe de 4 discos diferentes de MPB, 4 discos diferentes de rock e 2 discos diferentes de música clássica. O número de modos distintos como essa pessoa pode organizá-los em uma estante, de tal forma que discos do mesmo gênero estejam sempre juntos e os de rock sempre na mesma ordem, é:

A) 144

B) 1152

C) 48

D) 50

E) 288

Resolução:

Separando esse problema em três permutações:

Escolhendo a ordem entre MPB, rock e música clássica, ou seja, permutação de 3 elementos, P₃.

P₃ = 3! = 3×2×1 = 6

Entre os discos de MPB, há 4 opções, ou seja, P_4.

P₄ = 4! = 4×3×2×1 = 24

Entre os 2 discos de música clássica, P₂.

P₂ = 2! = 2×1 = 2

Pelo princípio multiplicativo, basta multiplicar as permutações:

P₃ · P₄ · P₂ = 3! · 4! · 2!

= (3 · 2 · 1) · (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1)

= 6 · 24 · 2

= 288

6 – Considere os anagramas formados a partir das letras da palavra CADERNO.

a) Quantos são?

b) Quantos começam com a letra C?

c) Quantos começam por D e termina por N?

d) Quantos começam por vogal?

e) Quantos terminam por consoantes?

 Resolução:

a) A palavra CADERNO tem 7 letras:

P₇ = 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5 040

b)  6 Letras

 P₆ = 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720

c) 5 Letras

 P₅ = 5! = 5×4×3×2×1 = 120

ADERNO C

CAERNO D

CADENO R

CADERO N

4×P₆ = 4×6! = 4×6×5×4×3×2×1

         = 4×720 = 2 880

d) A CDERNO

    E CADRNO

    O CADERN

3×P₆ = 3×6! = 3×6×5×4×3×2×1

         = 3×720 = 2 160

e) ADERNO C

    CAERNO D

    CADENO R

    CADERO N

4×P₆ = 4×6! = 4×6×5×4×3×2×1

         = 4×720 = 2 880