Arranjo com repetição

O arranjo com repetição é um conceito fundamental na análise combinatória. Ele ocorre quando temos um conjunto de elementos e queremos formar sequências ordenadas, permitindo a repetição desses elementos.

Definição

Dado um conjunto com (n) elementos distintos e desejamos formar sequências de tamanho (k), permitindo que cada elemento seja escolhido mais de uma vez, o número total de possibilidades é dado pela fórmula:

Aplicação

Esse tipo de arranjo aparece em diversas situações práticas, como:

• Senhas numéricas, onde os dígitos podem se repetir.
• Placas de veículos com letras e números repetidos.
• Códigos de segurança ou combinações de cadeados.

Exemplos

1 - Quantos números de dois algarismos podemos formar com os números 1, 2, 3 e 4?

Resposta: 16 números.

2 - Se tivermos um alfabeto de 26 letras e quisermos formar anagramas de 4 letras (permitindo repetição), o número de anagramas possíveis seria:

Resposta: 456 976 anagramas.

Exercícios

1 - Com os algarismos 8 e 9, podemos escrever quantos números de dois algarismos?

a) 2 números

b) 3 números

c) 4 números

d) 6 números

Resolução:

São eles: 89, 98, 88 e 99.

2 - Quantas senhas de 3 dígitos podem ser criadas usando os números de 0 a 9, permitindo repetições?

Solução:

Total de números (n): 10 (de 0 a 9).
Número de posições (k): 3.
Cálculo:

3 – Quantos anagramas de 4 letras podem ser formadas usando as letras A, B e C, permitindo repetições?

Solução:

Total de letras (n): 3.
Número de posições (k): 4.
Usando a fórmula:

4 - Quantas combinações diferentes podem ser feitas para pintar 2 paredes usando 4 cores diferentes, permitindo repetir cores?

Solução:

Total de cores (n): 4.
Número de paredes (k): 2.
Usando a fórmula:

5 - (Enem 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

    

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções. A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.

A opção que mais se adequa às condições da empresa é:

A) I            B) II            C) III             D) IV            E) V

Resolução:

Número de senhas para cada modelo de senha:

I ⇒ L⋅D⁵   ⇒ 26⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10 = 26⋅10⁵

                       = 2,6⋅10¹⋅10⁵ = 2,6⋅10⁶

II ⇒ D⁶   ⇒ 10⋅10⋅10⋅10⋅10⋅10 = 10⁶

III ⇒ L²⋅D⁴   ⇒ 26⋅26⋅10⋅10⋅10⋅10 = 26²⋅10⁴

                           = 676⋅10⁴ = 6,67⋅10²⋅10⁴

                                = 6,67⋅10⁶

IV ⇒ D⁵   ⇒ 10⋅10⋅10⋅10⋅10 = 10⁵

V ⇒ L³ ⋅D²   ⇒ 26⋅26⋅26⋅10⋅10 = 26³⋅10²

                           = 17 576⋅10²

                                = 1,7576⋅10⁴⋅10²

                                = 1,7576⋅10⁶

Comparando cada valor, o que se enquadra nas restrições feitas é a opção V.

Resposta: Letra E

6 – (FUVEST/2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?

a) 551

b) 552

c) 553

d) 554

e) 555

Resolução:

Total de senhas possíveis

Sem a restrição da Maria, cada dígito da senha pode ser um dos 5 números (1, 2, 3, 4, 5). Como a senha tem 4 dígitos, o total de possibilidades é:

Senhas com "13"

Vamos contar quantas senhas contém a sequência "13". Podemos ter "13XX", "X13X", e "XX13". Cada "X" pode ser um dos 5 números.

• Para "13XX", temos 5 ⋅ 5 = 25 possibilidades.

• Para "X13X", temos 5 ⋅ 5 = 25 possibilidades.

• Para "XX13", temos 5 ⋅ 5 = 25 possibilidades.

No total: 25 + 25 + 25 = 75 possibilidades.

A senha "1313"

Contamos a senha "1313" três vezes (uma vez em cada uma das sequências "13XX", "X13X", e "XX13"). Porém, ela só deve ser contada uma vez. Portanto, temos 75 – 1 = 74 possibilidades de senhas com a sequência "13".

Senhas sem "13"

Para encontrar o número de senhas que Maria pode criar sem a sequência "13", subtraímos o número de senhas com "13" do total de senhas possíveis: 625 – 74 = 551.

Portanto, Maria pode criar 551 senhas distintas.