Exercícios com progressão geométrica

1 - Calcule o 5º termo da PG (1, 5, ...).

a) 25          b) 125          c) 225          d) 625

2 - Qual é o 7º termo da PG (2, 6, ...)?

a) 1 458
b) 1 584
c) 2 225
d) 3 625

3 - Obtenha o sexto termo da P. G. (7, 14, ...).

4 - Em uma PG, o quarto termo é 128 e a sua razão é 4. Encontre o primeiro termo dessa PG.

5 - Qual é o 6º termo da PG: 1, 3, 9, ...?

a) 81          b) 729          c) 243          d) 27

6 – Determinar o sétimo termo da PG: 3, 9, 27, ...

7 - Em uma PG, o primeiro termo é 4 e o quarto termo é 4000. Qual é razão dessa PG? 

8 - Inserir dois meios geométricos reais entre – 3 e 24.

9 - Qual deve ser o valor de x para que a sequência (x – 3, x, x + 6) seja uma progressão geométrica?

a) – 6
b) 6
c) 7
d) 5,5
e) 0

10 - Determine a razão q da PG na qual o 2º termo vale 12 e o 5º termo vale 324.

11 - Numa P. G. crescente, o quinto termo é 810 e o terceiro termo é 90. Calcule sua razão e o primeiro termo dessa progressão geométrica.

12 - Considere a PG: 2, 6, 18, 54, ... Encontre o seu 10º termo.

13 – Determinar o número de termos das seguintes progressões geométricas:

14 - Determinar o primeiro termo de cada progressão geométrica, dados:

15 – Calcule três números em PG crescente, de tal forma que a sua soma é 7 e o produto é 8.

16 – Calcule três números em PG crescente, de tal forma que a sua soma é 13 e o produto é 27.

17 – Numa PG, a₁ = 2 e a₆ = 486. Calcule a razão dessa PG.

18 – Calcule o 6º termo da PG (6, 12, ...).

19 - Numa PG, a₁ = 3 e a₈ = 384. Calcule a razão dessa PG.

Respostas

1) Resolução:

Cálculo da razão:

Cálculo do 5º termo:

2) Resolução:

Cálculo da razão:

Cálculo do 7º termo:

3) Resolução:

Cálculo da razão:

Cálculo do sexto termo:

4) Resolução:

5) Resolução:

Cálculo da razão:

Cálculo do sexto termo:

6) Resolução:

Cálculo da razão:

Fazendo n = 7:

7) Resolução:

8) Resolução:

(– 3, __ , __ , 24)

 

Podemos escrever:

Calculo do segundo termo:

Calculo do terceiro termo:

Resposta: (– 3, 6, – 12, 24)

9) Resolução:

Cálculo da razão:

10) Resolução:

Substituindo (1) em (2):

11) Resolução:

Fazendo n = 3:

Fazendo n = 5:

Dividindo (2) por (1):

q = 3        (P.G. crescente)

Cálculo do primeiro termo:

Resposta: A razão é 3 e o seu primeiro termo é 10.

12) Resolução:

Cálculo da razão:

13) Resolução:

Fatorando 512:

Resposta: essa progressão geométrica tem 8 termos.

Fatorando 81:

Resposta: essa progressão geométrica tem 4 termos.

Fatorando 32 e 64:

Resposta: essa progressão geométrica tem 11 termos.

14) Resolução:

Fazendo n = 5:

Fazendo n = 7:

Dividindo (2) por (1):

Para:

Substituindo q em (1):

15) Resolução:

Seja a progressão:

Substituindo x em 1:

Multiplicando (3) por q:

Usando a fórmula de Bhaskara para calcular o valor de q:

a = 2,     b = – 5   e   c = 2

Para q = 1 e x = 2:

Para q = 2 e x = 2:

Como a PG é crescente:

Resposta:(1, 2, 4)

16) Resolução:

Seja a progressão:

Substituindo x em (1)

Multiplicando (3) por q:

Usando a fórmula de Bhaskara para calcular o valor de q:

a = 3,     b = – 10   e   c = 3

Para q = 1/3 e x = 3:

Lembrando que:

Como a PG é crescente:

Resposta: (1, 3, 9)

17) Resolução:

Dados:

= 2

n = 6

Fatorando o número 243:

18) Resolução:

Cálculo da razão:

Cálculo de a₆:

19) Resolução:

Fatorando o número 128:

Análise do poema "Eu Etiqueta" de Carlos Drummond de Andrade, sobre a ótica do consumo na sociedade da propaganda.

O consumo em ¨Eu Etiqueta¨ poema de Carlos Drummond de Andrade, pressupõe relação de comportamento, bem com fabricação de identidade mediante a exibição de mercadorias, onde os meios de produção levam os trabalhadores a perderem a sua capacidade de escolha, tornando-se divulgadores de marcas, através da cultura de consumo que reflete uma identidade por meio da moda que conta com o auxílio da publicidade para se fazer valorizada. As marcas são consumidas como símbolos de status e para demarcar relações sociais. A construção de super produção de signos e a reprodução de imagens ocasionadas pela mídia e a publicidade na cultura pós-moderna tem gerado a ideia de ter e não do ser, construindo uma sociedade baseada em esteriótipos criados pelo consumo de produtos. Drummond, relata que a moda é responsável por fazer seus consumidores deixarem seus gastos pessoais de lado. ¨É doce estar na moda, ainda que a moda seja negar minha identidade¨. A análise do poema de Drummond, evidencia que a forma como o consumidor se relaciona com o produto, transmitindo através do seu conteúdo a mensagem de que somos verdadeiras vitrines e uma extensão de identidades fabricadas para atender a sociedade de consumo.

Aluna: Suzane Cavalcante

Turma: I2        data: 14/12/2015

Escola Municipal Madre Francisca
Goiânia - Goiás.

Resenha do filme ¨Rio¨

A história e de um jovem ararinha-azul Blue, que, após ser capturada por traficantes de animais, é abandonada no frio e encontrada pela garota Linda, que a leva pra casa e trata-a com muitos cuidados.

Quinze anos depois, Linda está vivendo sua rotina junto a Blu, totalmente personificado – O plot continua com a chegada de Túlio, um cientista brasileiro que deseja levar Blu para o Brasil para que ele se reproduza, pois foi constatado que ele é a ultima Ararinha Azul macho de sua espécie.

No Rio de Janeiro encontrava-se a única fêmea e, após bastante insistência, Túlio consegue convencer Linda a ir com ele para o Rio, levando também Blue.

O Blu, então, é apresentado a Jade a única fêmea da sua espécie no mundo, que se apaixona.

O Blu tenta uma investida, mas Jade não está interessado nisso agora, pois ela só quer saber de fugir. Os bandidos entram no local onde estavam Blu e Jade e acorrentam os dois, pois são pássaros raríssimos. O Blu abre a gaiola e escapa com Jade.

Durante uma animação e um jogo há um acidente na perseguição e o transformador de energia é desligado, fazendo com que um blecaute aconteça no Rio de Janeiro. Ninguém vê o gol.

Após a fuga, Blu e Jade se perdem na área verde do Rio de Janeiro. O Blu, com seu comportamento altamente personificado, encontra uma construção histórica e convence Jade a ficar por ali mesmo, pois o lugar é uma construção do ser humano. Após um tempo, ficam amigos de Rafael, o tucano, que os leva à lugares como a Pedra da Gávea, em uma tentativa de ensinar Blu a voar.

O fim do filme acontece com Blu e Jade livres na natureza, Linda, Túlio e Fernando juntos em uma família, os contrabandistas acabam presos e o mal-encarado Nigel acaba depenado.

Aluna: Jennifer Lopes Rodrigues       Turma: H3        data: 08/11/13

Escola Municipal Madre Francisca
Goiânia - Goiás.

Números complexos

O conjunto dos números complexos surgiu para ampliar o conjunto dos números reais, já que neste as raízes de números negativos não existiam. Assim, foi criado um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números imaginários, que representamos pela letra C.

Os números complexos são números escritos na forma z = x + yi (forma cartesiana ou retangular) e utilizados para resolver raízes de índices pares com números negativos dentro delas.

O x é a parte real do número imaginário e y é a parte imaginária:

x = Re(z) e y = Im(z)

Veja alguns exemplos:

• Z = 8 + 5i  ⇾  Re(Z) = 8 e Im(Z) = 5

• Z = –17 +2i   ⇾   Re(Z) = –17 e Im(Z) = 2

• Z = 5i   ⇾    Re(Z) = 0 e Im(Z) = 5

O “i” é chamado de unidade imaginária e tem propriedade:

i² = −1

Sabemos que:

i⁰ = 1
i¹ = i

E a partir da propriedade chegamos em:

i³ = i² x i¹ = −i
i⁴ = i² x i² = 1
i⁵ = i⁴ x i¹ = i

Calculando para iⁿ, sendo n um número natural

As potências se repetem de 4 em 4, assim, para saber quanto vale in, basta dividir n por 4 e encontrar o resto, elevando i ao resto encontrado podemos saber quanto vale ݅in de forma mais simplificada.

Exemplo:

Qual o valor de i⁷⁶²⁷?
Dividimos 7627 por 4 e obtemos o resto 3, i⁷⁶²⁷ = i³ = −i

Em um plano de coordenadas cartesianas o eixo x (Abscissa) é chamado de eixo real enquanto o eixo y (Ordenada) é chamado de eixo imaginário:

O módulo de um número complexo é dado por:

e o número real não negativo é:

Exemplo:

Se:

Igualdade de Complexos

Dois números complexos só podem ser considerados iguais se a parte real de um for igual à parte real do outro e se a parte imaginária de um for igual à parte imaginária do outro.

Exemplo:

Z ,R e P são números complexos tais que:

Z = 3 + 2i;
R = 2 + 3i;
P = 3 + 2i;

Z e P são considerados iguais, R e P não são considerados iguais e Z e R também não são considerados iguais.

Conjugado

O conjugado de um número complexo z é representado por: 

O conjugado de z = x + yi:

Exemplo:

O conjugado de z é:

Oposto

O oposto de um número complexo z é – z, ou seja, se z = x + yi, o seu oposto é:

– z = – x – yi

Exemplo:
z = 4 – 5i, o oposto de z é – z = – 4 + 5i.

Adição e subtração

As operações são realizadas entre termos semelhantes, ou seja, parte real com parte real e a parte imaginária com parte imaginária. Essa condição é válida para adição e subtração.

Dados os números complexos:

Na adição entre eles obtém-se:

Na subtração, tem-se:

Multiplicação de Números Complexos

Seja:

e

O produto será:

Lembrando que i² = −1

Exercícios:

1 - Realizando a soma e da subtração, respectivamente, dos números complexos:

Vamos ter:

a) 2 + 3i e 1 – i
b) 3 + 2i e – 4 – i
c) 4 + 3i e 2 – i
d) 1 + 2i e –3 – i

Resolução:

Adição:

Subtração:

2 - Resolva e equação de 2º grau x² + 3x + 6 = 0 no campo dos complexos:

Resolução:

x² + 3x + 6 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara:

Fazendo:

Solução:

ou