Números complexos

O conjunto dos números complexos surgiu para ampliar o conjunto dos números reais, já que neste as raízes de números negativos não existiam. Assim, foi criado um novo conjunto numérico denominado conjunto dos números complexos ou conjunto dos números imaginários, que representamos pela letra C.

Os números complexos são números escritos na forma z = x + yi (forma cartesiana ou retangular) e utilizados para resolver raízes de índices pares com números negativos dentro delas.

O x é a parte real do número imaginário e y é a parte imaginária:

x = Re(z) e y = Im(z)

Veja alguns exemplos:

• Z = 8 + 5i  ⇾  Re(Z) = 8 e Im(Z) = 5

• Z = –17 +2i   ⇾   Re(Z) = –17 e Im(Z) = 2

• Z = 5i   ⇾    Re(Z) = 0 e Im(Z) = 5

O “i” é chamado de unidade imaginária e tem propriedade:

i² = −1

Sabemos que:

i⁰ = 1
i¹ = i

E a partir da propriedade chegamos em:

i³ = i² x i¹ = −i
i⁴ = i² x i² = 1
i⁵ = i⁴ x i¹ = i

Calculando para iⁿ, sendo n um número natural

As potências se repetem de 4 em 4, assim, para saber quanto vale in, basta dividir n por 4 e encontrar o resto, elevando i ao resto encontrado podemos saber quanto vale ݅in de forma mais simplificada.

Exemplo:

Qual o valor de i⁷⁶²⁷?
Dividimos 7627 por 4 e obtemos o resto 3, i⁷⁶²⁷ = i³ = −i

Em um plano de coordenadas cartesianas o eixo x (Abscissa) é chamado de eixo real enquanto o eixo y (Ordenada) é chamado de eixo imaginário:

O módulo de um número complexo é dado por:

e o número real não negativo é:

Exemplo:

Se:

Igualdade de Complexos

Dois números complexos só podem ser considerados iguais se a parte real de um for igual à parte real do outro e se a parte imaginária de um for igual à parte imaginária do outro.

Exemplo:

Z ,R e P são números complexos tais que:

Z = 3 + 2i;
R = 2 + 3i;
P = 3 + 2i;

Z e P são considerados iguais, R e P não são considerados iguais e Z e R também não são considerados iguais.

Conjugado

O conjugado de um número complexo z é representado por: 

O conjugado de z = x + yi:

Exemplo:

O conjugado de z é:

Oposto

O oposto de um número complexo z é – z, ou seja, se z = x + yi, o seu oposto é:

– z = – x – yi

Exemplo:
z = 4 – 5i, o oposto de z é – z = – 4 + 5i.

Adição e subtração

As operações são realizadas entre termos semelhantes, ou seja, parte real com parte real e a parte imaginária com parte imaginária. Essa condição é válida para adição e subtração.

Dados os números complexos:

Na adição entre eles obtém-se:

Na subtração, tem-se:

Exercício:

Realizando a soma e da subtração, respectivamente, dos números complexos:

Vamos ter:

a) 2 + 3i e 1 – i
b) 3 + 2i e – 4 – i
c) 4 + 3i e 2 – i
d) 1 + 2i e –3 – i

Resolução:

Adição:

Subtração:

Multiplicação de Números Complexos

Seja:

e

O produto será:

Lembrando que i² = −1