Princípio multiplicativo

1 – Na lanchonete, você pode escolher entre 4 tipos de pães para seu sanduíche pão de forma, pão francês, pão sírio e pão preto. Você pode escolher também 5 tipos de recheios: mortadela, queijo, presunto, peito de peru ou peito de frango. De quantas maneiras diferentes você pode pedir seu sanduíche com apenas um recheio? 

Resolução:

Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos:

4 tipos de pães x 5 tipos de recheios = 20 maneiras diferentes

2 – Ronaldo tem 4 camisetas e 3 bermudas. De quantas maneiras diferentes Ronaldo pode se vestir usando sempre uma bermuda e uma camiseta? 

Resolução:

Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos:

4 camisetas X 3 bermudas = 12 maneiras diferentes

3 – Dona Josefa vende bolas de sorvete em sua casa. Ela oferece 6 sabores aos seus clientes: chocolate, uva, morango, creme, limão e flocos. Geralmente seus clientes pedem duas bolas. Quantas combinações de duas bolas são possíveis fazer com esses sabores de sorvete? 

Resolução:

Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos:

6 sabores x 2 bolas = 12 combinações

4 – Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição? 

Resolução:

Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos:

8 pratos X 5 sobremesa = 40 formas diferentes

5 – Uma moça possui 4 blusas e 3 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa e uma saia? 

Resolução:

Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos:

4 blusas X 3 saias = 12 formas

6 – Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapato. De quantas formas ele poderá vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos? 

Resolução:

Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos:

10 ternos X 12 camisas X 5 pares de sapato = 600 formas

Soma dos termos de uma progressão aritmética (P. A.)

1 - Calcule a soma dos 50 primeiros termos da progressão aritmética (4, 8, 12, 16, …)

Resolução:

Primeiramente vamos calcular o termos a₅₀ dessa progressão aritmética: 

Fazendo n = 50 na fórmula da soma:

Substituindo os valores de a₁ e a₅₀:

2 - Qual é a soma de todos os números de dois algarismos que têm resto 2 quando divididos por 3?

Resolução:

Vamos encontrar os primeiros menores números de dois algarismos que têm resto 2 quando divididos por 3:

Vamos encontrar os últimos maiores números, com dois algarismos que têm resto 2 quando divididos por 3:

Esses números formam uma progressão aritmética (P. A.) de razão 3: 

11, 14, 17, 20, ..., 98.

a₁ = 11

r = 3

a _n = 98

Primeiramente, calcular o número de termos dessa progressão aritmética: 

Cálculo da soma dos 30 termos dessa progressão aritmética:

Exercícios com progressão aritmética

 1 - Dada a progressão aritmética (4, 8, 12, 16, …), calcule o 110º termo dessa P.A.

Resolução:

Fazendo n = 110:

2 - Determine o 4º termo da PA (x – 3, x – 1, ...).

Resolução:

a₁ = x – 3

a₂ = x – 1

r = a₂ – a₁

r = x – 1– (x – 3)

r = x – 1 – x + 3

r = x – 1 – x + 3

r = – 1 + 3

r = 2

Fazendo n = 4, e substituindo os valores de “a₁” e “r” na expressão:

a₄ = x - 3 + 6

a₄ = x + 3

3 - Determine o 8º termo de uma PA na qual a₃ = 8 e r = – 3.

Resolução:

Fazendo n = 3, e substituindo o valor e “r” na expressão:

Como a₃ = 8:

Para calcular o 8º termo dessa PA, agora vamos fazer n = 8:

 

Substituindo também os valores de “a₁” e “r”:

Sequências numéricas

1 - Descubra o segredo de cada sequência e escreva acrescentado os próximos 5 termos.

a)  12, 16, 20, 24, _____, _____, _____, _____, ____.

b)    125, 130, 135, 140, _____, _____, _____, _____, ____.

c)    111, 222, 333, 444, _____, _____, _____, _____, ____.

d)    1212, 1224, 1236, 1248, _____, _____, _____, _____, ____.

Resposta:

a) a₁ = 12

a₂ = 12 + 4 = 16

a₃ = 16 + 4 = 20

a₄ = 20 + 4 = 24

a₅ = 24 + 4 = 28

a₆ = 28 + 4 = 32

a₇ = 32 + 4 = 36

a₈ = 36 + 4 = 40

a₉ = 40 + 4 = 44

Resposta: 12, 16, 20, 24, __28___, __32___, __36___, __40___, __44__.

 

b)    a₁ = 125

a₂ = 125 + 5 = 130

a₃ = 130 + 5 = 135

a₄ = 135 + 5 = 140

a₅ = 140 + 5 = 145

a₆ = 145 + 5 = 150

a₇ = 150 + 5 = 155

a₈ = 155 + 5 = 160

a₉ = 160 + 5 = 165

 Resposta: 125, 130, 135, 140, __145___, __150___, __155___, __160___, __165__.

c)    a₁ = 111

a₂ = 111 + 111 = 222

a₃ = 222 + 111 = 333

a₄ = 333 + 111 = 444

a₅ = 444 + 111 = 555

a₆ = 555 + 111= 666

a₇ = 666 + 111 = 777

a₈ = 777 + 111 = 888

a₉ = 888 + 111 = 999

Resposta: 111, 222, 333, 444, __555___, __666___, __777___, __888___, __999__.

 

d)    a₁ = 1212

a₂ = 1212 + 12 = 1224

a₃ = 1224 + 12 =1236

a₄ = 1236 + 12 = 1248

a₅ = 1248 + 12 = 1260

a₆ = 1260 + 12= 1272

a₇ = 1272+ 12 = 1284

a₈ = 1284 + 12 = 1296

a₉ = 1296 + 12 = 1308

Resposta: 1212, 1224, 1236, 1248, __1260__, __1272__, __1284__, __1296__, _1308__.

2 − Dada a sequência numérica 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

a) Escreva uma lei de formação para essa sequência.

b) Qual é o 111º termo dessa sequência?

Resposta:

a) a₁ = 5·1 − 5 = 5 − 5 = 0

a₂ = 5·2 − 5 = 10 − 5 = 5
a₃ = 5·3 − 5 = 15 − 5 = 10
.
.
.
a_n = 5 · n − 5

b) Fazendo n = 111:

a_n = 5·n − 5

a₁₁₁ = 5·111 − 5

a₁₁₁ = 555 − 5

a₁₁₁ = 550

3 − Observe a sequência numérica 40, 110, 180, ...

a) Escreva uma lei de formação para essa sequência

b) Qual é o 10º termo dessa sequência?

Resposta:

a) a₁ = 70·1 − 30 = 70 − 30 = 40

a₂ = 70·2 − 30 = 140 − 30 = 110
a₃ = 70·3 − 30 = 210 − 30 = 180
.
.
.
a_n = 70 · n − 30

b) Fazendo n = 10:

a_n = 70 · n − 30

a₁₀ = 70 · 10 − 30

a₁₀ = 700 − 30

a₁₀ = 670

4 − Dada a sequencia numérica: 80, 76, 72, 68, 64,...

a) Qual é  a lei de formação para essa sequência?

b) Qual é o 44º termo dessa sequência?

c) Qual é posição do número − 4 nessa sequência?

Resposta:

a) a₁ = 84 − 4 · 1 = 84 − 4 = 80

a₂ = 84 − 4 · 2 = 84 − 8 = 76

a₃ = 84 − 4 · 3 = 84 − 12 = 72
.
.
.
a_n = 84 − 4 · n 

b) Fazendo n = 44:

a_n = 84 − 4 · n 

a₄₄ = 84 − 4 · 44 

a₄₄ = 84 − 176 

a₄₄ = − 84

c) Fazendo a_n = − 4:

a_n = 84 − 4 · n 

−4 = 84 − 4 · n 

−4 + 4 · n = 84

4 · n = 84 + 4

4 · n = 88

n = 88/4

n = 22

A posição é 22ª 

Acréscimos e decréscimos

Geralmente, os problemas de acréscimos e decréscimos, envolvem porcentagens. Para isso, vamos lembrar que: 1% significa uma parte de 100. Por exemplo, 1% de 100 é igual a 1. As situações em que podemos  encontrar acréscimos e decréscimos percentuais, são por exemplos, descontos em compras, aumento de preços, crescimento de populações etc.

Exemplos:

1 - Um produto que custava R$ 50 sofreu um acréscimo de 10%. Quanto custa agora?"

Resolução:

Usando regra de três:

Como as porcentagens o preço do produto são grandezas diretamente proporcionais, podemos escrever:

Usando a propriedade fundamental das proporções:

100・x = 10・50

 100x = 500

Logo, o produto custa agora:

50 + 5 = 55

Resposta: O produto custa agora, R$ 55,00.

2 - Um produto que custava R$ 80 sofreu um decréscimo de 20%. Quanto custa agora?"

Resolução:

Usando regra de três:

Como as porcentagens e os preços dos produtos são grandezas diretamente proporcionais, podemos escrever:

Usando a propriedade fundamental das proporções:

100・x = 20・80

100x = 1600

x = 16

Logo, o produto custa agora:

80 - 16 = 64

Resposta: O produto custa agora, R$ 64,00.

3 - Paula pagou uma conta atrasada com 4% de juros. O valor pago por Paula, com juros incluídos, foi de R$ 364,00. O valor original da conta de Paula era:

a) 349,00

b) 350,00

c) 352,00

d) 354,00

Resolução:

100% + 4% =104%

Usando regra de três:

Como as porcentagens e os preços dos produtos são grandezas diretamente proporcionais, podemos escrever:

Usando a propriedade fundamental das proporções:

104・x= 364・100

 

104x = 36 400

Logo, a letra correta é b.

Curiosidade

Início da 1ª Guerra Mundial: 28/07/1914

28 + 07 + 19 + 14 = 68

Início da 2ª Guerra Mundial: 01/09/1939

01 + 09 + 19 + 39 = 68

Início da invasão russa na Ucrânia: 24/02/2022

24 + 02 + 20 + 22 = 68

     O início da Primeira Guerra Mundial foi desencadeado pelo assassinato do arquiduque Francisco Ferdinando, herdeiro do trono austríaco, e sua esposa em Sarajevo, capital da Bósnia, no dia 28 de junho de 1914. O assassino foi um estudante nacionalista sérvio. O Império Austro-Húngaro exigiu que o governo sérvio punisse duramente os autores do crime e reprimisse todas as facções radicais do país. Sem obter respostas satisfatórias, o Império Austro-Húngaro decidiu, com o apoio da Alemanha, declarar guerra à Sérvia. A Rússia, contrária à ocupação austríaca, concedeu apoio aos sérvios. Logo em seguida, a Alemanha declarou guerra contra a Rússia e, posteriormente, contra a França. Itália e Inglaterra não mostraram clara definição política frente aos conflitos. Porém, a força dos acordos diplomáticos firmados e os interesses econômicos obrigaram ambos os países a se envolverem na guerra iniciada. 

     O início da Segunda Guerra Mundial ocorreu em 1º de setembro de 1939 com a invasão da Polônia pelo exército alemão. A Alemanha exigiu que a Polônia devolvesse a zona denominada “corredor polonês” e o porto de Danzig, que haviam sido perdidos durante a Primeira Guerra Mundial. Como os poloneses se negavam a fazê-lo, Hitler marchou sobre o país. Dois dias depois, em 3 de setembro, Inglaterra e França declararam guerra à Alemanha. O conflito duraria seis anos e só terminaria em 8 de maio de 1945. 

     A invasão russa na Ucrânia teve início em 24 de fevereiro de 2022. Após meses de expectativa e tensão, a Rússia deu início à invasão da Ucrânia, com relatos de explosões nas proximidades das principais cidades espalhadas pelo país. O primeiro dia de invasão foi marcado por imagens de veículos militares russos cruzando as fronteiras da Ucrânia, estragos causados por mísseis, pessoas feridas, fuga em massa por estradas e ferrovias, filas em caixas eletrônicos, voos civis cancelados e moradores procurando abrigos subterrâneos. Desde o início da invasão, o número de civis mortos na Ucrânia chegou a 9.6142. A situação é grave e tem sido objeto de discussão internacional, inclusive no Conselho de Segurança da ONU3.

Relações métricas no triângulo retângulo

No triângulo retângulo ABC da figura, temos:

“a” é a hipotenusa,

“b” e ”c” são os catetos,

“m” é a projeção do cateto “b” sobre a hipotenusa,

“n” é a projeção do cateto “c” sobre a hipotenusa. 

Relações métricas:

Lembrando que: a = m + n  e que a² = b² + c² é o teorema de Pitágoras.

Exercícios:

1– Determine as medidas de “a” e “m” indicadas no triângulo retângulo a seguir.

Resolução:

Como a = 25 e c = 20, teremos:

2 – Determine as medidas de “a” e “m” indicadas no triângulo retângulo a seguir.

Resolução:

Como h = 15 e n = 9, teremos:

3 – Determine as medidas de "m" e "n" indicadas no triângulo retângulo a seguir.

Resolução:

Como a = 16 e b = 8:

4 – Determine as medidas dos elementos desconhecidos, no seguinte triângulo retângulo.

Resolução:

Como m = 21 e n = 4:

5 – Em um retângulo, a medida da diagonal é expressa por (x + 8) cm e as medidas dos lados são expressas por x cm e 12 cm. Nessas condições, qual é o perímetro desse retângulo?

Resolução:

Aplicando o teorema de Pitágoras:

   

   

Como perímetro do retângulo(soma dos lados), teremos:

    P = x + 12 + x + 12

    P = 5 + 12 + 5 + 12
    P = 34 cm