Exercícios com função do 1º grau

Uma função do 1º grau pode ser escrita na forma:

f(x) = ax + b    ou    y = ax + b, sendo os coeficientes "a" e "b" números reais, com a ≠ 0 e "x" é a variável. 

Exercícios:

1 – (UERJ) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta. 

Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:

a) 4,50
b) 5,00
c) 5,50
d) 6,00

Solução: 

Temos os pontos P(5, 150) e Q(30, 50). Como o gráfico é uma reta, a função é do 1° grau:

y = ax + b
150 = a⋅5 + b  ⇒   5a + b = 150 (1)
50 = a⋅30 + b  ⇒  30a + b = 50 (2)
Isolando b em (1):
5a + b = 150  ⇒  b = 150 – 5a (3)
Substituindo b em (2):
30a + b = 50
30a + 150 – 5a = 50
30a – 5a = 50 – 150
25a = – 100 ∴ a = – 4
Substituindo o valor de a em (3):
b = 150 – 5a   ⇒   b = 150 – 5⋅(– 4)
b = 150 + 20 ∴ b = 170
Para x = 20 unidades:
y = ax + b  ⇒  y = – 4x + 170
y = – 4⋅20 + 170  ⇒  y = – 80 + 170 = 90
Preço por unidade: 90:20 = 4,50

2 – (PUC-BH) A função linear R(t) = at + b expressa o rendimento R, em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é contado em meses, R(1) = – 1 e R(2) = 1. Nessas condições, determine o rendimento obtido nessa aplicação, em quatro meses. 

Resolução:

R(1) = – 1

R(t) = at + b

R(1) = a⋅1 + b = – 1   ⇒   a + b = – 1 (1) 

R(2) = 1

R(t) = at + b

R(2) = a⋅2 + b = 1   ⇒    2a + b = 1 (2)

Isolando b em (1):
a + b = –1 ⇒ b = –1 – a (3)

Substituindo (3) em (2):

2a + b = 1   ⇒   2a + (–1 – a) = 1

2a – 1 – a = 1   ⇒   2a – a = 1 + 1

a = 2 

Substituindo o valor de a em (3):
b = – 1 – a ⇒ b = –1 – 2 ∴ b = – 3

Portanto, a função será:
R(t) = at + b
R(t) = 2t – 3

Fazendo t = 4 meses:
R(t) = 2t – 3   ⇒   R(4) = 2⋅4 – 3

R(4) = 8 – 3   ∴   R(4) = 5

Resposta: O rendimento obtido nessa aplicação será de R$ 5 000,00. 

3  – Identifique quais das funções abaixo são do 1º grau:

a) f(x) = 10x – 12       b) f(x) = 1/x + 8

 c) f(x) = 9x + 3          d) f(x) = 4x² + 3x – 16

 e) f(x) = 5x + 3x³        f) f(x) = 5x – 1

Resposta: As funções que têm a forma f(x) = ax + b são (a), (c) e (f).

4  – Determinando os coeficientes da função y = 2x + 9, vamos ter:

a) a = 2 e b = 9

b) a = 1 e b = 9

c) a = 9 e b = 1

d) a = 2 e b = 11

Resposta: a = 2 e b = 9

5  – Uma função do primeiro grau tem lei de formação dada por y = 2x + 3, qual o valor de x para que y = 13?

a) x = 8
b) x = 12
c) x = 9
d) x = 5

Resolução:

 y = 2x + 3
13 = 2x + 3
13 – 3 = 2x
10 = 2x

x = 5

6 – O problema a seguir, refere-se às questões 4, 5 e 6.

Paulo trabalha como funcionário de uma loja e recebe R$ 1 800,00 todo mês mais R$ 10,00 por cada produto vendido.

Escreva a função que representa seu salário;

a) y = 1 800x + 10

b) y = 10x + 1 800

c) y = (1 800 + 10)x

d) y = 1 810x

 Resposta: y = 10x + 1 800

7 – Se ele vender 42 unidades do produto, quanto vai receber?

a) R$ 2 220,00

b) R$ 3 010,00

c) R$ 1 810,00

d) R$ 2 410,00

Resolução:

x = 42

y = 10x + 1800

y = 10ㆍ42 + 1800

y = 420 + 1800

y = 2220

8 – Para receber R$ 2000,00 de salário em um mês, quantos produtos ele deve vender?

a) 20 produtos.

b) 25 produtos.

c) 23 produtos.

d) 15 produtos.

Resolução:

 y = 2000

y = 10x + 1800

2000 = 10x + 1800

2000 – 1800 = 10x

200 = 10x

x = 20

9 – Dada a função definida por f(x) = 2x + 3, determine f(1) , f(2) , f(3) e f(4).

a) { 5, 7, 9, 11}
b) { 7, 6, 10, 5}
c) { -5, 9, 11, -7}

d) ( 15, 9 , 7, 5}

Resolução:

f(x) = 2x + 3
f(1) = 2⋅1 + 3 = 2 + 3 = 5
f(2) = 2⋅2 + 3 = 4 + 3 = 7
f(3) = 2⋅3 +3 = 6 + 3 = 9
f(4) = 2⋅4 +3 = 8 + 3 = 11

Resposta: Letra A

10 – Dada a função de 1º grau y = 0,90x + 2,50, calcule o valor de x para y = 80.

Resolução:

y = 80
y = 0,90x + 2,50  ⇒  80 = 0,90x + 2,50
80 - 2,50 = 0,90x  ⇒  77,50 = 0,90x

x  =  86,1111111...

Exercícios com racionalização de denominadores

Racionalizar o denominador de uma fração cujo denominador é um radical com com raiz não exata, multiplicamos o numerador e o denominador dessa fração por um certo radical, de modo a tornar a fração com denominador racional.

Exercícios:

3 - Usando as propriedades de radicais, simplifique a expressão:

Resolução:

Veja:

4 - Simplifique a fração 

Resolução:

Para racionalizar o denominador da fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador da fração por:

Pois:

Veja:

5 - A expressão abaixo é equivalente a:

Resolução:

Valor numérico de uma expressão algébrica

Para calcular o valor numérico de uma expressão algébrica, substituímos os valores das  variáveis/incógnitas na expressão algébrica e efetuamos as operações indicadas.

Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica você deve proceder do seguinte modo:

1º) Substituir as letras por números reais dados.

2º) Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem:

 a) potenciação e radiciação;

b) divisão e multiplicação;

c) adição e subtração.

Observação: Convém utilizar parênteses quando substituir na expressão algébrica números negativos.

Exemplos:

1 – Qual é o valor numérico da expressão algébrica 3x – 2y, para x = 4 e y = – 3?

 3・4 – 2・(– 3) = 12 + 6 = 18

 2 – Dada a expressão algébrica 2ab³. Se a = 7 e b = 4, o seu valor numérico será:

 2・7・4³ = 2・7・4・4・4 = 14・16・4 = 896

Exercícios

1 – Sabendo que x = 5, determine o valor numérico da expressão x + 1. 

a) 7

b) 6

c) 4

d) 5

 Resposta: 5 + 1 = 6

2 – Sabendo que x = 2 e y = 3 e calculando o valor numérico da expressão

4x² + 5y, termos:

 a) 31

b) 32

c) 33

d) 30

 Resposta: 4・2² + 5・3 = 4・2・2 + 15 =  4・4 + 15 = 16 + 15 = 31

3 – Sabendo que x = – 1, determine o valor numérico da expressão x + 1 – x². 

a) 1

b) 2

c) – 2

d) –1

 Resposta: (– 1) + 1 – (– 1)² = – 1 + 1 – (– 1)・(– 1) = – 1 + 1 – (+ 1) = 0 – 1 = – 1 

4 – Calculando o valor numérico da expressão abaixo para a = – 1 e p = 3

 

Vamos ter:

a) 1/2

b) 2

c) 1/3

d) – 2

5 – O valor da expressão  quando p = –1, vale:

a. +1.

b. +3.

c. –3.

d. –1.

e. 0.

Resolução:

6 – Qual deve ser o valor de k para x = 2, sabendo que o valor numérico da expressão x³ + kx − 6 seja igual a 4?

a) k = 2      b) k = 1      c) k = −1      d) k = 0

 Resolução:

 x³ + kx – 6 = 4

 2³ + k⋅2 – 6 = 4     ⇒    2⋅2⋅2 + 2k – 6 = 4

 8 + 2k – 6 = 4    ⇒    2k = 4 + 6 – 8

 2k = 10 – 8    ⇒    2k = 2

Polinômios - Redução de Termos Semelhantes

 1 – (EAM – Aprendiz de marinheiro) Analise a figura a seguir: Suponha que o terreno comprado por um proprietário tenha a forma da figura acima e suas medidas sejam representadas, em unidades de comprimento, pelas variáveis X, Y e Z. A expressão algébrica que representa o perímetro desse terreno é:

                                                                    Fonte da imagem: Brasil Escola 

Lembrar que perímetro é a soma dos lados.

a) 2x + 3y + z
b) 3x + 4y + 2z
c) 3x + 3y + z
d) 3x + 2y + 3z

^Resposta: 

P = 2y + z+ x + y +x +x +y + z

P = x + x + x + 2y + y + y + z + z

P = 3x + 2y + 2y + 2z

P = 3x + 4y + 2z

2 – Para calcular a área de um retângulo, multiplicamos as medidas do comprimento com a medida da largura.

Escreva a expressão algébrica que representa a área do retângulo da figura.

                                   

a) 6x + y
b) 5xy
c) 6xy
d) 4x + 6y

 Resposta: Para b = 3y e h = 2x

A = b ⋅ h

A = 3y ⋅ 2x

A = 3 ⋅ 2 ⋅ y ⋅ x

A = 6xy

3 – Sabendo que perímetro é a soma de todos os lados de qualquer polígono, determine a expressão que representa o perímetro da figura abaixo:

a) 6x + 1
b) 12x + 2
c) 6x + 2
d) 12x + 1

Resposta: 

P = 4x + 1 +  4x + 1 + 2x + 2x

P = 4x +  4x + 2x + 2x + 1 + 1

P = 8x + 4x  + 2

P = 12x + 2

4 – Determine a expressão que representa o perímetro da figura:

Fonte da imagem - Brasil Escola.

a) 5x +12
b) 6x +12
c) 4x +12
d) 6x +9

 Resposta: P = 3x - 2 + 2x + 6 + x + 8

P = 3x - 2 + 2x + 6 + x + 8

P = 3x  + 2x +  x + 6 + 8- 2

P = 5x  +  x + 14 - 2

P = 6x + 12

Polinômio: Valor numérico

 1 – Um retângulo possui lados paralelos de medidas iguais. Então, se um lado do retângulo mede 22 cm, o lado paralelo a esse deve medir 22 cm também. Considere que a largura da figura é x. Veja a figura:

Se o perímetro, que é a soma de todos os lados do retângulo, determine o seu perímetro, para x = 8 cm.

•  44 cm
•  176 cm²
•  30 cm
•  60 cm

  Resposta: P = x + 22 + x + 22 

  P = 8 + 22 + 8 + 22 

  P = 30 + 30

  P = 60 cm

2 – Calcule o valor numérico da expressão algébrica a seguir, sabendo que x = 2 e y = 3.

Calcule o valor numérico da expressão algébrica acima

•  32
•  34
•  30
•  31

  Resposta: Para x = 2 e y = 3

  5x² + 4y = 5⋅2² + 4⋅3

  = 5⋅2⋅2 + 12

  = 10⋅2 +12

  = 20 + 12

  = 32

3 – Para calcular a área de um retângulo, multiplicamos as medidas do comprimento com a medida da largura.

Escreva a expressão algébrica que representa a área do retângulo da figura.

•  6xy
•  6x + y
•  4x + 6y
•  5xy

  Resposta: Para b = 3y e h = 2x

  A = b ⋅ h

  A = 3y ⋅ 2x

  A = 3 ⋅ 2⋅ x ⋅ y

  A = 6xy

4 – Qual deve ser o valor de k para x = 2, sabendo que o valor numérico da expressão x³ + kx − 6 seja igual a 4?

•  k = 2
•  k = 1
•  k = −1
•  k = 0

 Resposta: 

Para x = 2

x³ + kx − 6 = 4

2³ + k⋅2 − 6 = 4

2⋅ 2 ⋅ 2 + 2k − 6 = 4

8 + 2k − 6 = 4

8 + 2k = 4 + 6

8 + 2k = 10

2k = 10 − 8

2k = 2

k = 2/2

k = 1

Polinômio: Classificação e grau

 1 – Os polinômios podem ser classificados de acordo com a sua quantidade de termos. Classifique a expressão abaixo como: Monômio, Binômio, Trinômio ou Polinômio.

2x² + x – 5

•  Monômio
•  Binômio
•  Trinômio
•  Polinômio

Resposta: Trinômio e polinômio

2 – Classifique a expressão abaixo como: Monômio, Binômio, Trinômio ou Polinômio.

7x³ – 2x² + 3x – 4

•  Binômio
•  Trinômio
•  Polinômio
•  Monômio

 Resposta: Polinômio

3 – Classifique a expressão abaixo como: Monômio, Binômio, Trinômio ou Polinômio.

10x

•  Trinômio
•  Binômio
•  Monômio
•  Polinômio

 Resposta: monômio e polinômio

4 – Classifique a expressão abaixo como: Monômio, Binômio, Trinômio ou Polinômio.

4x + 7

•  Trinômio
•  Monômio
•  Binômio
•  Polinômio

 Resposta: Binômio e polinômio

5 – Dê o grau do polinômio abaixo:

10x² + 3x

•  3º
•  4º
•  2º
•  1º

 Resposta: 2º (O maior expoente da variável x)

6 – Dê o grau do polinômio abaixo:

5x + 9

•  9º
•  3º
•  1º
•  2º

 Resposta: 1º (O maior expoente da variável x é o 1, pois x¹ = x)

7 – Dê o grau do polinômio abaixo:

2x³ – 3x² + 5x – 24

•  1º
•  3º
•  4º
•  2º

 Resposta: 3º (O maior expoente da variável x é o 3)

8 – Os polinômios podem ser de dois tipos: completo ou incompleto. Classifique como: polinômio completo ou polinômio incompleto:

2x³ + 7x – 15

•  Polinômio incompleto
•  Polinômio incompleto

 Resposta: Polinômio incompleto (Faltou o expoente 2)

9 – Classifique como: polinômio completo ou polinômio incompleto:

7x³ – 2x² + 3x – 4

•  Polinômio incompleto
•  Polinômio completo

  Resposta: Polinômio completo.

10 – Classifique como: Polinômio completo ou Polinômio incompleto:

8x³ – 2x

•  Polinômio completo
•  Polinômio incompleto

  Resposta: Polinômio incompleto. (Faltou os expoentes 2 e zero)

11 – Classifique como: Polinômio completo ou polinômio incompleto:

4x + 7

•  Polinômio incompleto
•  Polinômio completo

  Resposta: Polinômio completo