Sequências numéricas

1 - Descubra o segredo de cada sequência e escreva acrescentado os próximos 5 termos.

a)  12, 16, 20, 24, _____, _____, _____, _____, ____.

b)    125, 130, 135, 140, _____, _____, _____, _____, ____.

c)    111, 222, 333, 444, _____, _____, _____, _____, ____.

d)    1212, 1224, 1236, 1248, _____, _____, _____, _____, ____.

Resposta:

a) a₁ = 12

a₂ = 12 + 4 = 16

a₃ = 16 + 4 = 20

a₄ = 20 + 4 = 24

a₅ = 24 + 4 = 28

a₆ = 28 + 4 = 32

a₇ = 32 + 4 = 36

a₈ = 36 + 4 = 40

a₉ = 40 + 4 = 44

Resposta: 12, 16, 20, 24, __28___, __32___, __36___, __40___, __44__.

 

b)    a₁ = 125

a₂ = 125 + 5 = 130

a₃ = 130 + 5 = 135

a₄ = 135 + 5 = 140

a₅ = 140 + 5 = 145

a₆ = 145 + 5 = 150

a₇ = 150 + 5 = 155

a₈ = 155 + 5 = 160

a₉ = 160 + 5 = 165

 Resposta: 125, 130, 135, 140, __145___, __150___, __155___, __160___, __165__.

c)    a₁ = 111

a₂ = 111 + 111 = 222

a₃ = 222 + 111 = 333

a₄ = 333 + 111 = 444

a₅ = 444 + 111 = 555

a₆ = 555 + 111= 666

a₇ = 666 + 111 = 777

a₈ = 777 + 111 = 888

a₉ = 888 + 111 = 999

Resposta: 111, 222, 333, 444, __555___, __666___, __777___, __888___, __999__.

 

d)    a₁ = 1212

a₂ = 1212 + 12 = 1224

a₃ = 1224 + 12 =1236

a₄ = 1236 + 12 = 1248

a₅ = 1248 + 12 = 1260

a₆ = 1260 + 12= 1272

a₇ = 1272+ 12 = 1284

a₈ = 1284 + 12 = 1296

a₉ = 1296 + 12 = 1308

Resposta: 1212, 1224, 1236, 1248, __1260__, __1272__, __1284__, __1296__, _1308__.

2 − Dada a sequência numérica 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

a) Escreva uma lei de formação para essa sequência.

b) Qual é o 111º termo dessa sequência?

Resposta:

a) a₁ = 5·1 − 5 = 5 − 5 = 0

a₂ = 5·2 − 5 = 10 − 5 = 5
a₃ = 5·3 − 5 = 15 − 5 = 10
.
.
.
a_n = 5 · n − 5

b) Fazendo n = 111:

a_n = 5·n − 5

a₁₁₁ = 5·111 − 5

a₁₁₁ = 555 − 5

a₁₁₁ = 550

3 − Observe a sequência numérica 40, 110, 180, ...

a) Escreva uma lei de formação para essa sequência

b) Qual é o 10º termo dessa sequência?

Resposta:

a) a₁ = 70·1 − 30 = 70 − 30 = 40

a₂ = 70·2 − 30 = 140 − 30 = 110
a₃ = 70·3 − 30 = 210 − 30 = 180
.
.
.
a_n = 70 · n − 30

b) Fazendo n = 10:

a_n = 70 · n − 30

a₁₀ = 70 · 10 − 30

a₁₀ = 700 − 30

a₁₀ = 670

4 − Dada a sequencia numérica: 80, 76, 72, 68, 64,...

a) Qual é  a lei de formação para essa sequência?

b) Qual é o 44º termo dessa sequência?

c) Qual é posição do número − 4 nessa sequência?

Resposta:

a) a₁ = 84 − 4 · 1 = 84 − 4 = 80

a₂ = 84 − 4 · 2 = 84 − 8 = 76

a₃ = 84 − 4 · 3 = 84 − 12 = 72
.
.
.
a_n = 84 − 4 · n 

b) Fazendo n = 44:

a_n = 84 − 4 · n 

a₄₄ = 84 − 4 · 44 

a₄₄ = 84 − 176 

a₄₄ = − 84

c) Fazendo a_n = − 4:

a_n = 84 − 4 · n 

−4 = 84 − 4 · n 

−4 + 4 · n = 84

4 · n = 84 + 4

4 · n = 88

n = 88/4

n = 22

A posição é 22ª 

5 – Qual é o próximo número da sequência: 20, 16, 13, 11, __ ?

Resolução:

a₁ = 20

a₂ = 20 – 4 = 16

a₃ = 16 – 3 = 13

a₄ = 13 – 2 = 11

a₅ = 11 – 1 = 10

Acréscimos e decréscimos

Geralmente, os problemas de acréscimos e decréscimos, envolvem porcentagens. Para isso, vamos lembrar que: 1% significa uma parte de 100. Por exemplo, 1% de 100 é igual a 1. As situações em que podemos  encontrar acréscimos e decréscimos percentuais, são por exemplos, descontos em compras, aumento de preços, crescimento de populações etc.

Exemplos:

1 - Um produto que custava R$ 50 sofreu um acréscimo de 10%. Quanto custa agora?

Resolução:

Usando regra de três:

Como as porcentagens o preço do produto são grandezas diretamente proporcionais, podemos escrever:

Usando a propriedade fundamental das proporções:

100・x = 10・50

 100x = 500

Logo, o produto custa agora:

50 + 5 = 55

Resposta: O produto custa agora, R$ 55,00.

2 - Um produto que custava R$ 80 sofreu um decréscimo de 20%. Quanto custa agora?"

Resolução:

Usando regra de três:

Como as porcentagens e os preços dos produtos são grandezas diretamente proporcionais, podemos escrever:

Usando a propriedade fundamental das proporções:

100・x = 20・80

100x = 1600

x = 16

Logo, o produto custa agora:

80 - 16 = 64

Resposta: O produto custa agora, R$ 64,00.

3 - Paula pagou uma conta atrasada com 4% de juros. O valor pago por Paula, com juros incluídos, foi de R$ 364,00. O valor original da conta de Paula era:

a) 349,00

b) 350,00

c) 352,00

d) 354,00

Resolução:

100% + 4% =104%

Usando regra de três:

Como as porcentagens e os preços dos produtos são grandezas diretamente proporcionais, podemos escrever:

Usando a propriedade fundamental das proporções:

104・x= 364・100

 

104x = 36 400

Logo, a letra correta é b.

Curiosidade

Início da 1ª Guerra Mundial: 28/07/1914

28 + 07 + 19 + 14 = 68

Início da 2ª Guerra Mundial: 01/09/1939

01 + 09 + 19 + 39 = 68

Início da invasão russa na Ucrânia: 24/02/2022

24 + 02 + 20 + 22 = 68

     O início da Primeira Guerra Mundial foi desencadeado pelo assassinato do arquiduque Francisco Ferdinando, herdeiro do trono austríaco, e sua esposa em Sarajevo, capital da Bósnia, no dia 28 de junho de 1914. O assassino foi um estudante nacionalista sérvio. O Império Austro-Húngaro exigiu que o governo sérvio punisse duramente os autores do crime e reprimisse todas as facções radicais do país. Sem obter respostas satisfatórias, o Império Austro-Húngaro decidiu, com o apoio da Alemanha, declarar guerra à Sérvia. A Rússia, contrária à ocupação austríaca, concedeu apoio aos sérvios. Logo em seguida, a Alemanha declarou guerra contra a Rússia e, posteriormente, contra a França. Itália e Inglaterra não mostraram clara definição política frente aos conflitos. Porém, a força dos acordos diplomáticos firmados e os interesses econômicos obrigaram ambos os países a se envolverem na guerra iniciada. 

     O início da Segunda Guerra Mundial ocorreu em 1º de setembro de 1939 com a invasão da Polônia pelo exército alemão. A Alemanha exigiu que a Polônia devolvesse a zona denominada “corredor polonês” e o porto de Danzig, que haviam sido perdidos durante a Primeira Guerra Mundial. Como os poloneses se negavam a fazê-lo, Hitler marchou sobre o país. Dois dias depois, em 3 de setembro, Inglaterra e França declararam guerra à Alemanha. O conflito duraria seis anos e só terminaria em 8 de maio de 1945. 

     A invasão russa na Ucrânia teve início em 24 de fevereiro de 2022. Após meses de expectativa e tensão, a Rússia deu início à invasão da Ucrânia, com relatos de explosões nas proximidades das principais cidades espalhadas pelo país. O primeiro dia de invasão foi marcado por imagens de veículos militares russos cruzando as fronteiras da Ucrânia, estragos causados por mísseis, pessoas feridas, fuga em massa por estradas e ferrovias, filas em caixas eletrônicos, voos civis cancelados e moradores procurando abrigos subterrâneos. Desde o início da invasão, o número de civis mortos na Ucrânia chegou a 9.6142. A situação é grave e tem sido objeto de discussão internacional, inclusive no Conselho de Segurança da ONU.

Relações métricas no triângulo retângulo

No triângulo retângulo ABC da figura, temos:

“a” é a hipotenusa,

“b” e ”c” são os catetos,

“m” é a projeção do cateto “b” sobre a hipotenusa,

“n” é a projeção do cateto “c” sobre a hipotenusa. 

Relações métricas:

Lembrando que: a = m + n  e que a² = b² + c² é o teorema de Pitágoras.

Exercícios:

1– Determine as medidas de “a” e “m” indicadas no triângulo retângulo a seguir.

Resolução:

Como a = 25 e c = 20, teremos:

2 – Determine as medidas de “a” e “m” indicadas no triângulo retângulo a seguir.

Resolução:

Como h = 15 e n = 9, teremos:

3 – Determine as medidas de "m" e "n" indicadas no triângulo retângulo a seguir.

Resolução:

Como a = 16 e b = 8:

4 – Determine as medidas dos elementos desconhecidos, no seguinte triângulo retângulo.

Resolução:

Como m = 21 e n = 4:

   

   

5 – Em um retângulo, a medida da diagonal é expressa por (x + 8) cm e as medidas dos lados são expressas por x cm e 12 cm. Nessas condições, qual é o perímetro desse retângulo?

Resolução:

Aplicando o teorema de Pitágoras:

 

 

Como perímetro do retângulo(soma dos lados), teremos:

    P = x + 12 + x + 12

    P = 5 + 12 + 5 + 12
    P = 34 cm

Sistema de equações do 1° grau com duas incógnitas: Método de tentativa e erro

Para resolver sistemas de equações do 1° grau com duas incógnitas, podemos usar vários métodos de resolução o método de tentativa e erro é aplicado em sistemas simples de equações, em que possamos realizar mentalmente. Esse método consiste em encontrar um par de  números que substituindo em cada equação, torne a sentença verdadeira.

1 - Vamos resolver o sistema de equações abaixo por tentativas:

Resolução:

Logo, x = 4 e y = 3                  Solução: (4, 3)

2 - Resolver o sistema de equações abaixo por tentativa e erro:

Resolução:

Logo, x = 15 e y = 5                  Solução: (15, 5)

3 - Resolver o sistema de equações abaixo por tentativas:

Resolução:

Logo, x = 25 e y = 17            Solução: (25, 17)

4 - Resolver o sistema de equações do 1° grau com duas incógnitas:

Resolução:

Logo, x = 10 e y = 4

Solução: (10, 4)