Exercícios com teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. O triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medida de 90º. Os lados do triângulo retângulo recebem nomes especiais: o maior lado é chamado de hipotenusa que é oposto ao ângulo reto e os lados menores chamados de catetos:

          

Teorema: O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

          

      Exercícios

1 - Determine a medida desconhecida da hipotenusa no triângulo retângulo da figura abaixo:                            

Resolução:
• Pelo teorema de Pitágoras temos:
a² = b² + c²
x² = 4² + 3²
x² = 4·4 + 3·3
x² = 16 + 9
x² = 25

x = 5

2 - Calcule a medida x no triângulo da figura.

          

Resolução:

• Pelo teorema de Pitágoras temos:

a² = b² + c²

a² = b² + c²

 x² = 9² + 12²

 x² = 9·9 + 12·12

x² = 81 + 144

x² = 225

3 - Calcule a medida desconhecida do cateto no triângulo retângulo da figura abaixo.

          

Resolução:
• Pelo teorema de Pitágoras temos:

4 – Os catetos de um triângulo retângulo medem 5 cm e 12 cm. Determine sua hipotenusa.

Resolução:

• Usando o teorema de Pitágoras:

• Resposta: A medida da hipotenusa desse triângulo é de 13 cm.

5 – Qual é o valor de x?

          

Resolução:

• Usando o teorema de Pitágoras:

a²  = b² + c²
(3x – 2)²  = (2x – 2)² + x²
(3x)²  – 2⋅3x⋅2 + 2² = (2x)²  + 2⋅2x⋅2 + 2² + x²

9x² –12x + 4 = 4x² + 8x + 4 + x²
9x² – 4x² – x² – 12x – 8x = 4 – 4
4x²  – 20x = 0     : (4x)
x – 5 = 0  
x = 5

6 - Calcule as medidas desconhecidas dos lados do triângulo da figura.

          

Resolução:

• Pelo teorema de Pitágoras temos:
a²  = b² + c²
(x + 4)² = x² + (x + 2)²
x² + 2⋅x⋅4 + 4² = x² + x² + 2⋅x⋅2 + 2²

x² + 8x + 16 = x² + x² + 4x + 4
x² – x² – x² + 8x – 4x + 16 – 4
– x² + 4x + 12 = 0    ✕(– 1)
x² – 4x – 12 = 0

• Usando a fórmula de Bhaskara:

a = 1,    b = – 4   e   c = – 12 

• Como os lados do triângulo tem medidas x, x + 2 e x + 4:

x = 6

x + 2 ⇾  6 + 2 = 8
x + 4 ⇾  6 + 4 = 10

• Resposta: Os lados do triângulo são 6, 8 e 10.

7 - Em uma rua horizontal, a companhia elétrica de uma cidade vai estender um cabo partindo de um poste vertical ao solo, cuja altura é 7 metros, até uma casa, conforme a ilustração.

          

Se o topo da casa está a 3 m do solo e a distância do poste à casa é 12 m, qual é o comprimento aproximado do cabo? Adote √10 = 3,2 e uma casa decimal para aproximação.​

Resolução:

          

• Usando o teorema de Pitágoras:

• Resposta: O comprimento aproximado do cabo é de 12,8 metros.  

8 - (Fuvest) Na figura a seguir, ABC é um triângulo isósceles e retângulo em A, e PQRS é um quadrado de lado

          

Então, a medida do lado AB é:

a) 1           b) 2           c) 3           d) 4           e) 5

Resolução:

• Os triângulos BPS e QCR também são retângulos isósceles. Logo, os segmentos BP e QC são iguais a SP e RQ, respectivamente. Consequentemente, os segmentos BP, PQ e QC possuem a mesma medida. Portanto, a medida do lado BC é igual a 3 vezes a medida do lado do quadrado, ou seja:

          

• Considerando os lados AB e AC iguais a x, e utilizando o teorema de Pitágoras:

          

  

9 - (Unesp) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB, apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C, como na figura. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:

Resolução:

Cálculo da altura H₁:

Usando o teorema de Pitágoras no triângulo CEG:

Os triângulos CEG e ABF são semelhantes:

Multiplicando cruzado:

Simplificando as frações:

Resposta: Letra D

Exercícios com o teorema de Tales

O teorema de Tales foi desenvolvido pelo matemático Tales de Mileto, que demonstrou a existência de uma proporcionalidade nos segmentos de reta formados por retas paralelas cortadas por retas transversais.

Em um feixe de retas paralelas cortado por duas transversais, considere os segmentos que as paralelas determinam sobre as transversais: as medidas dos segmentos que estão sobre uma das transversais são diretamente proporcionais às medidas dos segmentos correspondentes que estão sobre a outra.

Para a explicação do teorema de Tales, vamos considerar a seguinte situação: duas retas transversais "s" e "t", que são cortadas por retas paralelas "a", "b" e "c", assim como é mostrado na imagem abaixo:

Em seu teorema, Tales afirmou que a razão entre dois segmentos quaisquer em uma das retas transversais será igual a razão dos seguimentos equivalentes em sua outra transversal, ou seja:

Exercícios

1 – Em cada item, calcule calcule o valor de x, sabendo que as retas (r), (s) e (t) são paralelas. 

:                       

 

2 – As retas (r), (s) e (t) são paralelas, calcule a medida x.

  Pelo teorema de Tales, temos:

3 – Calcule o valor de x no feixe de paralelas, sabendo as retas (r), (s) e (t) são paralelas.

4 – As retas (r), (s) e (t) são paralelas. Calcule o valor da medida x.

Exercícios com valor numérico de uma função do 2º grau

Para encontrar o valor numérico de qualquer função do 2º grau, basta substituir a variável independente pelo valor desejado e encontrar o valor da variável dependente.

Neste caso, temos a função:

y = 2x² – 3x + 5
Onde y é a variável dependente, também conhecida como f(x), e x é a variável independente.
Substituindo x pelo valor – 2:
y = 2⋅(– 2)² – 3⋅(– 2) + 5

Substituindo x pelo valor – 1:
y = 2⋅(– 2)² – 3⋅(– 2) + 5
y = 2⋅(– 2)⋅( – 2) + 6 + 5
y = 2⋅4 + 6 + 5
y = 8 + 6 + 5
y = 19

 Exercícios

 1 - Calcule o valor f(2) na função f(x) = x² – 4x + 7.

a) f(2) = 1
b) f(2) = 2
c) f(2) = 4
d) f(2) = 3

 Resposta: 

f(2) = 2² – 4⋅2 + 7

f(2) = 2⋅2 – 4⋅2 + 7

f(2) = 4 – 8 + 7

f(2) = – 4 + 7

f(2) = 3

 2 - Determine o valor de y para x = 3 na função quadrática, cuja a lei de formação é y = 2x² + 5x – 3.

a) f(3) = 40
b) f(3) = 30
c) f(3) = 35
d) f(3) = – 20

 Resposta: 

y = 2⋅3² + 5⋅3 – 3

y = 2⋅3⋅3 + 15 – 3

y = 2⋅9 + 15 – 3

y = 18 + 15 – 3

y = 33 – 3

y = 30

3 - Dada a função f(x) = – x² – 2x + 4, determine o valor de f(5).

a) f(5) = 32
b) f(5) = 31
c) f(5) = – 32
d) f(5) = – 31

Resposta: 

f(5) = – 5² – 2⋅5 + 4

f(5) = – 5⋅5 – 10 + 4

f(5) = – 25 – 10 + 4

f(5) = – 25 – 10 + 4

f(5) = – 35 + 4

f(5) = – 31

4 - Dada a função f(x) = x² – 4x + 3, determine o valor de f(– 2).

a) f(– 2) = – 15
b) f(– 2) = 16
c) f(– 2) = 15
d) f(– 2) = 14

 Resposta: 

f(– 2) = (– 2)² – 4⋅(– 2) + 3

f(– 2) = (– 2)⋅(– 2) + 8 + 3

f(– 2) = 4+8 + 3

f(– 2) = 15

Exercícios com a reta numérica real

1 - A posição de a reta numérica está indicada com a seta vermelha.

Marque a alternativa correta.

a) A

b) B

c) C

d) D

2 - Represente na reta numerada os números: – 3,4 e .

 

Respostas:

1) Como , a melhor aproximação é a da letra (D):

2)

Ângulos suplementares

Ângulos suplementares são um conceito importante na geometria. Dois ângulos são chamados de suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180 graus. Em outras palavras, se você tem dois ângulos “a” e “b”, eles são suplementares se:

Aqui estão alguns pontos chave sobre ângulos suplementares:

1. Linha Reta: Ângulos suplementares frequentemente aparecem quando dois ângulos compartilham um lado em comum e juntos formam uma linha reta. Por exemplo, se um ângulo é 120 graus, o ângulo suplementar a ele será 180°−120° = 60°.
2. Geometria de Polígonos: Ângulos suplementares também são relevantes em polígonos. Por exemplo, os ângulos internos de um quadrado formam pares de ângulos suplementares.
3. Aplicações Práticas: Entender ângulos suplementares é útil em diversas áreas, como arquitetura, engenharia e até arte, onde a medida precisa e a construção de ângulos são cruciais.

Vamos ver um exemplo prático: Suponha que você tenha um ângulo de 75 graus. O ângulo suplementar a ele seria 180° − 75° = 105°.

Exercícios

1 – Dois ângulos são suplementares. Se um deles tem medida de 20º, qual a medida do outro? 

Resolução:

x + 20º = 180º

x = 180º – 20º

x = 160º

2 – Vamos calcular o valor de x nas figuras abaixo:

a) 

Resolução:

3x + 10º + 50º = 180º

3x + 60º = 180º

3x = 180º –  60º

3x = 120º

x = 40º

b) 

Resolução:

x + 90º + 2x = 180º

x + 2x = 180º – 90º

x + 2x = 180º – 90º

3x = 90º

x = 90º/3

x = 30º

       

c) 

Resolução:
2x + 20º + 2x = 180º

2x + 2x = 180º – 20º

4x = 160º

x = 40º

3 –  Determine o valor de x e as medidas de cada um dos ângulos abaixo.

Resolução:

3x – 10º + 2x – 40° = 180° 

5x – 50º = 180° 

5x  = 180° + 50º

5x  = 230º

x = 46º

3x – 10º = 3 ⋅ 46° – 10º = 138° – 10° = 128°

2x – 40° = 2 ⋅ 46° – 40° = 92° – 40° = 52°

Resposta: x = 46° e os ângulos medem 128° e 52°.

Porcentagem de cabeça

Resolvendo problemas com porcentagem de cabeça:

A porcentagem (símbolo %) é uma razão cujo denominador é igual a 100. Ela representa uma comparação de uma parte com o todo.

Sabendo que 100% correspondem ao valor total, então fica fácil calcular alguns valores como: 1%, 2%, 5%, 10%, 20%, 25%, 50% entre outros valores.

                  Exercícios

30 – Um veículo foi comprado por R$ 36 000,00. Num período de 5 anos, ele sofreu desvalorização de 10%. Qual é o valor deste veículo, após esse período?