Regra de três simples

A regra de três é usada na proporção, para medir a relação entre grandezas que são diretamente proporcionais, ou seja, que o aumento de uma implica no aumento da outra, ou ainda que são inversamente proporcionais, quando o aumento de uma implica na redução da outra.

A regra de três simples também é muito utilizada em situações que envolvam cálculos financeiros, misturas químicas, conversões de grandezas na Física.

Na regra de três simples, conhecemos três valores e desconhecemos apenas um. Multiplicamos cruzado e chegamos ao resultado. É preciso, no entanto, analisar se são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Veja os passos:

1. Crie uma tabela e agrupe as grandezas da mesma espécie na mesma coluna.
2. Identificar se as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais, analisaremos isso no próximo passo.
3. Montar a equação assim: se as grandezas forem diretamente proporcionais, multiplicamos os valores em cruz, isto é, em forma de X. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos os valores para ficarem diretamente proporcional.
4. Resolva a equação.

Exercícios

1 – Quanto é 60% de R$ 500,00?

Resolução:

          %                Reais

Grandezas diretamente proporcionais:

x  = 300 reais.

2 – Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De quanta farinha necessito para fazer 18 pães?

Resolução:

    kg         Pães

Grandezas diretamente proporcionais:

x = 1,5 kg

3 – Os R$ 200,00 que Lucas tem correspondem a 40% do valor que ele tinha. Qual era o valor principal?

Resolução:

      %         Reais

Grandezas diretamente proporcionais:

X = 500 

Resposta: A quantia que ele tinha era de R$ 500,00

4 – Para se construir uma parede de 25 m² são necessários 2 pedreiros. Quantos pedreiros serão necessários para construir uma parede de 150 m²?

Resolução:

     m²     Pedreiros

Grandezas diretamente proporcionais:

x = 12

Resposta: 12 pedreiros.

5 – Uma pessoa recebe R$ 1 800,00 por 30 dias trabalhados. Quantos dias esta pessoa precisará trabalhar para ter direito a receber R$ 1.200,00?

Resolução:

    R$           Dias

Grandezas diretamente proporcionais:

Resposta: Esta pessoa terá que trabalhar 20 dias.

6 – Para se construir um muro de 17 m² são necessários 3 trabalhadores. Quantos trabalhadores serão necessários para construir um muro de 51 m² ?

Resolução:

          m²          Trabalhadores

Grandezas diretamente proporcionais:

 x = 9

Resposta: 9 trabalhadores

7 – Com uma área  de absorção de raios solares de 1,2 m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5 m², qual será a energia produzida?

Resolução:

          m²                 watts

Grandezas diretamente proporcionais:

x =  500 

Resposta: A energia produzida será de 500 watts.

8 – Um automóvel consome, em média, 8 litros de álcool num trecho de 72 km. O consumo desse automóvel em 126 km será de:

a) 12 litros

b) 14 litros

c) 16 litros    

d) 18 litros

Resolução:

    Litros              km

Grandezas diretamente proporcionais:

72 ∙ x = 8 ∙ 126

72x = 1008 

x = 14 litros

9 – Um torneira despeja 15 litros de água por minuto. Para encher um tanque de 1800 litros, ela leva:

a) 1 hora

b) 2 horas

c) 90 minutos

d) 150 minutos

Resolução:

        Litros              Minutos

Grandezas diretamente proporcionais:

15 ∙ x = 1800 ∙ 1

15x = 1800



x = 120 minutos ou x = 2 horas

10 – Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos operários farão esse mesmo trabalho em 6 dias? 

Resolução:

   Operários           Dias

Grandezas inversamente proporcionais:



6∙x = 15∙10

6x = 150

x = 25

Resposta: 25 operários.

12 – Em 5 horas, uma máquina produz 120 peças. Quantas peças ela produzirá em 8 horas?

    

Resolução:

          Horas           Peças

Grandezas diretamente proporcionais:

X = 192 peças

Exercícios com juros compostos

Juros compostos é o chamado juros sobre juros. Para calcularmos os juros compostos, é conveniente calcularmos primeiro o montante. Eles são, na maioria das vezes, usados no sistema financeiro, pois oferecem maior rentabilidade se comparados ao juro simples.

M → Montante

C → Capital

i → Taxa

t → Tempo

O montante é a soma do capital inicial (C) e os juros(J):



Tendo o montante e o capital, calculamos os juros compostos.

Exercícios: 

1- A quantia de R$ 12 000,00 é emprestada a uma taxa de juros de 10% ao mês. Aplicando-se a juros compostos, o valor que deverá ser pago para a quitação da dívida, três meses depois, é:

a) R$ 13 500,00

b) R$ 16 330,00

c) R$ 12 440,00

d) R$ 15 972,00

Resposta:

M =?

C = 12 000

2- No exercício anterior, qual o valor do juro pago para a quitação da dívida?

a) R$ 3 972,00

b) R$ 3 340,00

c) R$ 3 540,00

d) R$ 3 722,00

Resposta:

J = ?

C = 12 000

M = 15 972

M = C + J

15 972 = 12 000 + J

15 972 - 12 000 = J

J =  3 972

3- Uma aplicação especial rende 1% ao mês em regime de juros compostos. Certa pessoa deseja aplicar a quantia de R$ 50 000,00 durante 3 meses. Determine o montante gerado por essa aplicação.

a) R$ 51 515, 05

b) R$ 55 300,50

c) R$ 52 040,00

d) R$ 51 980,10

Resposta:

M =?

C = 50 000

4- Considere o capital de R$ 10 000,00 aplicados na poupança durante 2 meses, num país em que a taxa de juros compostos de 3% ao mês. Calcule o montante deste capital no período especificado.

a) R$ 10 990,00

b) R$ 11 200,00

c) R$ 10 609,00

d) R$ 11 110,00

Resposta:

M =? 

C = 10 000

5- Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 2 000,00, qual será o montante gerado ao final de 2 meses, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%?

a) R$ 2 020,05

b) R$ 2 200,15

c) R$ 2 120,50

d) R$ 2 090,00

Resposta:

M =?

C = 2 000

t = 2 meses

Lembrar que:

6- Um capital de R$ 1 000,00 foi emprestados durante 11 meses à taxa de 8% ao mês.
a) Qual o montante acumulado no final de 11 meses?
b) Qual o valor dos juros produzidos nesses 11 meses?

Respostas:
a) 

M = ?
C = 1 000
i = 8% = 8/100 = 0,08 
t = 11 meses

b)
J = ?
M = C + J
2 331,64 = 1 000 + J
2 331,64 ー 1 000 = J
J = R$ 331,64


7- Paulo aplicou R$ 12 000,00 em uma instituição financeira por um período 8 meses à taxa de 3% ao mês.
a) Qual o montante acumulado que Paulo vai receber no final de 8 meses?

M = ?
C = 12 000
i = 3% = 3/100 = 0,03 
t = 8 meses


b) Qual será o valor dos juros produzidos nesses 8 meses?

J = ?
M = C + J
15 201,24 = 12 000 + J
15 201,24 - 12 000 = J
J = R$ 3201,24

8 - O capital de R$ 4.500,00 aplicados por 180 dias a taxa de juros compostos de 4% ao mês irá gerar o montante de:

Resolução:

Exercícios com números racionais

Os números racionais positivos podem ser expressos nas formas: fracionária, percentual, decimal exata e decimal não exata (dízima periódica).

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.

O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números racionais positivos

Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.

Números racionais negativos

São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

Escrita fracionária

Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária:

A palavra porcentagem apresenta ligações estreitas com a ideia de fração, uma vez que significa partes de 100. Ora, se é parte de um todo então é uma fração. Vamos compreender melhor a relação entre porcentagem e as frações.

Para facilitar os cálculos, as frações que representam a porcentagem podem ser simplificadas. 

       Veja:

Além disso, podemos escrever a porcentagem na forma decimal, também a fim de facilitar os cálculos 

na resolução de problemas.

Exercícios

1 - Escrevendo a porcentagem 23% na forma decimal, vamos ter:

a) 0,23

b) 0, 023

c) 0,32

d) 0,032

2 - A forma fracionaria da divisão (-2):(+7) pode ser escrita por:

A alternativa correta é

a) A

b) B

c) C

d) D

3- Escrevendo a forma simplificada da porcentagem,

               25%

            teremos:

A alternativa correta é

a) A 

b) B 

c) C 

d) D

4 - O número inteiro 3 pode ser escrito na forma fracionária:

A alternativa correta é

a) A 

b) B 

c) C 

d) D

Resposta:

5 - Qual desses números é igual a 0,36?

Resolução:

Exercícios com divisão de números decimais

Os números decimais (números com virgulas) e os números naturais são escritos, todos eles, no sistema posicional. Por isso, os cálculos efetivados com os números decimais são parecidos com os que você conhece para os naturais.

Para realizar a divisão de números decimais, devemos igualar a quantidade de casas decimais dos números e efetuar a divisão.

Confira o exemplo abaixo:

1,23:0,5 = → O número 1,23 possui duas casas decimais, e o número 0,5 possui uma casa decimal.

Lembre-se de que um número decimal só divide ou é dividido por outro número decimal se ambos possuem a mesma quantidade de algarismos após a vírgula.

Igualando as casas decimais: 1,23:0,50

Com isso, podemos eliminar as vírgulas: 123:050

O zero à esquerda de um número não tem valor, também podemos eliminarmos.

Ficando agora uma divisão mais simples: 123:50

Exercícios:

Questão 1

 Realizando a divisão entre os números 0,504 e 1,2.

a) 1,42  

b) 0,42

c) 0,325

d) 0,042

Resposta: 0,504 : 1,2 = 0,504 : 1,200 = 0 504 : 1 200 = 504 : 1 200 = 0,42

Questão 2

Uma caixa d'água tem uma capacidade de 230,25 litros. Se para enchê-lo usarmos um balde com capacidade de 2,5 litros, quantos baldes são necessários para encher o recipiente?  

 a) 92,1 baldes

b) 75,5 baldes

c) 85 baldes

d) 30 baldes

 Resposta: 230,25 : 2,5 = 230,25 : 2,50 = 23 025 : 250 = 92,1

Questão 3

Efetuando a divisão abaixo, vamos encontrar:

 3,2 : 0,25

a) 6,7

b) 7,7

c) 12,8

d) 15,2

 Resposta:     3,2 : 0,25 = 3,20 : 0,25 = 320 : 025 = 320 : 25 = 12,8

Questão 4

Realize a divisão:

30,36 : 1,2

a) 17,4

b) 12,9

c) 33,5

d) 25,3

Resposta:    30,36 : 1,2=30,36 : 1,20 = 3 036 : 120 = 25,3

Exercícios com notação científica

Quando estamos trabalhamos com números que apresentam muitos algarismos, ou seja, números excessivamente grandes ou pequenos, para efetuar cálculos, com o manuseio desses números, as operações ficam muito complicado. Para simplificar a escrita desses números, usamos a chamada notação científica. O uso desta notação está baseado nas potências de 10.

Quando escrevemos um número no formato abaixo, temos uma notação científica: 

Onde “a” é um número compreendido entre 1 e 10, incluindo o 1 e “n” um expoente adequado.

Veja uns exemplos:

Atividades

1 -  Para ter uma noção do tamanho do Sol, pode-se calcular o seu diâmetro. Segundo estimativas dos cientistas, o diâmetro do Sol mede aproximadamente 1 391 400 km. Represente este valor em notação científica.

a) 1,395⋅10⁴ b) 1,395⋅10⁵ c) 1,395⋅10⁶ a) 1,395⋅10⁷    

Resolução:

6 casas para a esquerda 

Resposta: Letra (c)

2 -  A distância entre o Sol e a Terra é muito grande. Para expressar esta distância, é necessário um número com muitos algarismos. Para reduzir a quantidade de algarismos deste número, foi usada a notação científica e chegamos a um valor aproximado de:

                    

Expressando este número na sua forma inteira, vamos ter:

 a) 149 600 000 km

b) 1 496 000 000 km

c) 14 960 000 km

d) 1 496 000 km

Resolução:

  

8 casa para direita

Resposta: Letra (a)

3 - Considere o número 0,000 000 000 000 07, converta-o em notação científica.

Resolução:

  14 casa para a direita

A vírgula deslocou 14 casas para a direita: Letra (b)4 -   O número 578 000 em notação científica corresponde a:

Resolução:            

5 casas para a esquerda

A vírgula deslocou 5 casas para a esquerda: Letra (c)

5 - Segundo a teoria do Big Bang, o universo surgiu há cerca de 15 bilhões de anos, a partir da explosão e da expansão de uma densíssima gota. Qual das alternativas a seguir representa corretamente a idade do universo em notação científica.

Resolução:

15 bilhões

             10 casas

6 - Estima-se que um grão de areia considerado muito grosso tenha a medida de aproximadamente 0,001 metro. Escreva esse valor em notação científica.

Resolução:

3 casas para a direita

Resposta: Letra (C)

7 - O maior planeta do sistema solar é Júpiter, sua distância em relação ao sol é de aproximadamente 780.000.000 km. Assinale a alternativa que representa essa medida em notação científica:

a) 78⋅10⁶      b) 7,8⋅10⁷ c) 7,8⋅10⁸      d) 7,8⋅10⁹

Resolução:

       8 casas

Resposta: Letra (C)