Equações do 1º grau com uma variável

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual".

Exemplos:

3x + 15 = 0

7x – 4 = 5x + 8

3a – 4b – 5c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)

x – 5 < 3   (Não é igualdade)

5≠ – 2   (não é sentença aberta, nem igualdade)

Toda equação que, reduzida à forma mais simples, assume a forma ax + b = 0, onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, é chamada de equação do 1º grau. 

ax + b = 0

Para resolver essa equação, subtraímos b dos dois lados e obtemos:

ax + b – b = 0 – b

ax = – b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:

Considere a equação 6x + 10 = 5x –12:

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se

1º membro, e o que sucede, 2º membro.

1º membro    2º membro

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, e um termo da equação.

       Termos da equação

Exemplos: 

1- Resolva as equações em IR 
a) 2x + 6 = x + 18

Resolução:
    2x – x =18 – 6
    x = 12

b) 5x – 3 = 2x + 9 

Resolução:
    5x – 2x = 9 + 3
    3x=12
    x = 12/3
    x = 4

c) 3(2x–3) + 2 (x + 1) = 3x + 18 

Resolução:
    6x – 9 + 2x + 2 = 3x + 18 
    6x – 3x + 2x = 18 + 9 – 2
    3x + 2x = 27 – 2   
    5x = 25
    x = 25/5
    x = 5

d) 2x + 3(x – 5) = 4x + 9 

Resolução:
    2x + 3x – 15 = 4x + 9
    2x + 3x – 4x = 9 + 15
    5x – 4x = 24
    x = 24

2 - Qual é a solução da equação de 1º grau abaixo?

     2(x + 1) – 3(2x – 5) = 6x – 3

Resolução: 
    2x + 2 – 6x + 15 = 6x – 3 
    2x  – 6x  – 6x =  – 3 – 2  –15
    2x – 12x = – 5 – 15
    – 10x = – 20
    10x = 20
    x = 20/10
    x = 2

3 - Resolva a equação 10x + 1800 = 2000.

Resolução: 

10x + 1800 = 2000

10x = 2000 – 1800 

10x = 200

x = 20

4 - Qual é a solução da equação abaixo?

Resolução: 

• O mínimo múltiplo comum de 3x, x, 2x e 10 é 30x.

• Para eliminar as frações, vamos multiplicar cada termo por 30x:

5- Resolva a equação de 1º grau:

Resolução:

• Calculando o m.m.c. dos denominadores:

• Multiplicando essa equação por 12:

Exercícios com juros simples

1 - Comprei uma bicicleta em 12 prestações. Sabendo que o valor à vista da bicicleta é R$ 1 200,00, e que a loja cobra uma taxa de 4% ao mês, quanto pagarei de juros?

a) R$ 57,60

b) R$ 576,00

c) R$ 676,00

d) R$ 67,60

Resolução:

2 - Quanto vou pagar no total pela bicicleta do exercício anterior?

a) R$ 1 776,00

b) R$ 1 550,00

c) R$ 1 670,00

d) R$ 1 250,00

Resolução:

M = ?

C = 1 200

e

j = 576

M = C + j

M = 1 200 + 576 = 1776

Resposta: Vou pagar no total pela bicicleta R$ 1 776,00.

3 - Calcule o montante simples obtido a partir da aplicação de um capital de R$10 000,00 com a taxa de 108% ao ano durante 5 meses?

a) R$ 500,00

b) R$ 12 400,00

c) R$ 14 500,00

d) R 16 000,00

Resolução:

Resposta: O montante produzido nesta aplicação no final do período será de R$ 14 500,00.

4 -  Ao investir R$15 000,00 em uma aplicação bancária sob o regime de juros simples, a uma taxa de 10% ao ano durante seis meses, qual o valor a ser retirado (Montante) ao fim dessa aplicação? Lembre-se: 1 ano tem 12 meses!

Resolução:

Resposta: o montante ser retirado ao fim dessa aplicação será de R$15 750,00.

5 - Calcule o juro simples resultante de uma aplicação de 18 000 reais, à taxa de 2 % mês, durante 4 meses.

Resolução:

j = ?

C = 18 000



t = 4 meses

j = C ⋅ i ⋅ t

j = 18 000 ⋅ 0,02 ⋅ 4

j = 360 ⋅ 4

j = 1440

Resposta: O juro resultante será de 1 440 reais

6 - Ana fez um empréstimo de R$ 2 400,00 e irá pagar em 6 vezes, com juros simples de 4% ao mês. A quantia que Ana pagará de juro por mês será:

a) R$ 16,00

b) R$ 576,00

c) R$ 96,00

d) R$ 160,00

Resolução:

C = 2 400,00

t = 6 meses

j = C ⋅ i ⋅ t = 2 400 ⋅ 0,04 ⋅ 6 = 96 ⋅ 6 = 576

576 : 6 = 96

Resposta: R$ 96,00

Propriedades dos radicais

O que é radiciação? A radiciação é a operação inversa da potenciação. Enquanto a potenciação é uma multiplicação na qual todos os fatores são iguais.

Quando o índice do radical é "2", geralmente não escrevemos esse índice:

Introdução de um fator externo no radical:

Exercícios:

1 – Descubra o número que :

a) elevado ao quadrado dá 9

b) elevado ao quadrado dá 25

c) elevado ao quadrado dá 49

d) elevado ao cubo dá 8

Resposta:
a) x² = 9

x = 3 ou x = -3 

b) x² = 25

x = 5 ou x = -5

c) x² = 49

x = 7 ou x = -7

d) x³ = 8

x = 2, pois 2³ = 2⋅2⋅2 = 8

2 – Usando as propriedades de radicais o valor da expressão

é:  

a. ( ) 36       b. ( ) 9        c. ( ) 6       d. ( ) 5

Resolução:

3 – Quanto vale x ?

a) x² = 16 
b) x² = 36 
c) x² = 64 
d) x² = 81 

Resposta:
a) x² = 16

x = – 4  ou  x = 4 

b) x² = 36

x = – 6  ou  x = 6

c) x² = 64

x = – 8  ou  x = 8

d) x³ = 27

x = 3, pois 3³ = 3⋅3⋅3 = 27

4 – Determine a Raiz quadrada:

Resposta:

5 – Resolva as expressões abaixo:

Resposta:

6 – Usando as propriedades de radicais, simplifique as expressões:

Respostas:

7 – Qual é  o valor da expressão abaixo?

Resolução:

Exercícios com sistema de equações: Método da adição

Para usar o método da adição num sistema de equações do 1º grau, precisamos descartar uma das variáveis através da soma das duas equações.

Exercícios:

1 – Usando o método da adição, resolva o sistema de equações:

Resolução:

Adicionando os termos:

Substituindo o valor de x na primeira equação:

Solução: x = 25 e y = 17

2 – No sistema

o valor de x é:

a) igual a zero

b) igual a um

c) o dobro de y

d) o triplo de y

Resolução:

Substituindo o valor de x em:

Resposta: (d) x é o triplo de y

3 – Resolva o sistema de equações abaixo:

Resolução: 

Multiplicando a segunda equação por 2:

Adicionando os termos:

Substituindo o valor de x na primeira equação:

Resposta: x = 1 e y = - 1

4 – Usando o método da adição, resolva o sistema de equações:

Resolução:

Vamos multiplicar a segunda equação por (– 1):

Adicionando os termos:

Substituindo o valor de x na primeira equação:

Resposta: x = 6 e y = 5

5 – Vamos resolver o sistema de equações abaixo:

Resolução:

Multiplicando a 2ª equação por 3:

Adicionando cada um dos termos:

Fazendo c = 4 na equação c – g = 1:

c – g = 1

4 – g = 1

– g = 1 – 4

– g = – 3

g = 3

Então a solução do sistema é: c = 4 e g = 3.