Progressão Aritmética - P. A.

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa diferença constante é chamada de razão (r) da progressão.

Fórmula Geral

A fórmula geral de uma progressão aritmética é:

 a_n = a₁ + (n – 1)⋅r

 Onde:

• a_n é o enésimo termo da PA.
• a₁ é o primeiro termo da PA.
• n é a posição do termo.
• r é a razão da PA.

       r = a_n – a_n-1

Exemplos

1− Considere a PA: 2, 5, 8, 11, 14, ...

Aqui, o primeiro termo a₁ = 2.

A razão r = 3 (porque r = a₂ – a₁ = 5 − 2 = 3).

Para encontrar o 5º termo a₅:

a_n = a₁ + (n – 1)⋅r

a₅ = 2 + (5 – 1)⋅3

a₅ = 2 + 4⋅3

a₅ = 2 + 12

a₅ = 14

2 − Exemplo com termos negativos: Considere a PA: 10, 7, 4, 1, − 2, ...

      Aqui, o primeiro termo a₁ = 10.

      A razão r = − 3 (porque r = a₂ –  a₁ = 7 − 10 = − 3, etc).

      Para encontrar o 4º termo a₄:

a_n = a₁ + (n – 1)⋅r

a₄ = 10 + (4 – 1)⋅(– 3)

a₄ = 10 + 3⋅(– 3)

a₄ = 10 – 3

a₄ = 7

Exercícios

1 - Dada a progressão aritmética (4, 8, 12, 16, …), calcule o 110º termo dessa progressão aritmética (PA).

Resolução:

Fazendo n = 110:

2 – Determine o 1º termo de uma progressão aritmética (PA) de razão 3 e o vigésimo termo é igual a 30.

Resolução:

Fazendo n = 20:

3 – Calcular o número de termos da progressão aritmética (PA): (50, 47, 44, ..., 14).

Resolução:

4 – Calcular a razão de cada progressão aritmética (PA), dados:

a) a₁ = 15 e a₁₆ = 60

b) a₁ = – 3 e a₁₂ = 74

c) a₁ = 3 e a₈ = – 46

Resolução:

a) r = ?    a₁ = 15   e    a₁₆ = 60

Fazendo n = 16:

b) r = ?    a₁ = – 3   e   a₁₂ = 74

Fazendo n = 12:

c) r = ?      a₁ = 3     e a₈ = – 46

Fazendo n = 8:

5 - Determine o 8º termo de uma PA na qual a₃ = 8 e r = – 3.

Resolução:

Fazendo n = 3, e substituindo o valor e “r” na expressão:

Como a₃ = 8:

Para calcular o 8º termo dessa PA, agora vamos fazer n = 8:

 

Substituindo também os valores de “a₁” e “r”:

6 - Determine o 4º termo da PA (x – 3, x – 1, ...).

Resolução:

a₁ = x – 3

a₂ = x – 1

r = a₂ – a₁

r = x – 1– (x – 3)

r = x – 1 – x + 3

r = x – 1 – x + 3

r = – 1 + 3

r = 2

• Fazendo n = 4, e substituindo os valores de “a₁” e “r” na expressão:

a₄ = x - 3 + 6

a₄ = x + 3