Soma dos ângulos internos de um triângulo

Um triângulo é um polígono de três lados, e a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus (ou π radianos). Isso vale para todos os triângulos, independentemente de serem equiláteros (três lados iguais), isósceles (dois lados iguais) ou escalenos (três lados diferentes).

                   

                         

Exercícios

1 – Qual é a medida do ângulo A no triângulo abaixo?

a) 40^°          b) 60^°               c) 50^°                   d) 70^°  

Resolução:

2 – Determine é a medida do ângulo C no triângulo.

Resolução:

3 – Dado o triângulo RST, calcule:

a) O valor de x;

b) As medidas dos ângulos R, S e T.

Resolução:

4 - (SAEP) Observe o triângulo EFG abaixo, retângulo em F.

Quanto mede o ângulo x desse triângulo?

      a)     30°           b)   60°          c)    90°          d)    120°

Resolução:

                         

• Os ângulos de medidas y e 120° são suplementares:

y + 120° = 180°

y = 180° – 120°

y = 60°

• Soma dos ângulos internos do triângulo EFG:

x + y + 90° = 180°

x + 60° + 90° = 180°

x + 150° = 180°

x = 180° – 150°

x = 30°

Adição e subtração de frações

A adição e subtração de frações são operações fundamentais na matemática que permitem combinar ou comparar partes de um todo. Para realizar essas operações corretamente, é essencial entender alguns conceitos-chave:

Frações com o Mesmo Denominador

Quando as frações têm o mesmo denominador, a adição e a subtração são bastante diretas:

• Adição:

• Subtração:

Frações com Denominadores Diferentes

Quando as frações têm denominadores diferentes, é necessário encontrar um denominador comum antes de realizar a adição ou subtração. O denominador comum mais simples é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Aqui estão os passos:

1. Encontre o MMC dos denominadores.

2. Reescreva cada fração com o denominador comum.

3. Some ou subtraia os numeradores e mantenha o denominador comum.

Exemplos

1. Adição de Frações com Denominadores Diferentes:



• Encontre o MMC de 3 e 4, que é 12.

• Reescreva as frações com denominador 12:

           • Adicione as frações:

2. Subtração de Frações com Denominadores Diferentes:
 

• Encontre o MMC de 6 e 4, que é 12.


• Reescreva as frações com denominador 12:

           • Subtraia as frações:   
         

Simplificação

Após a adição ou subtração, é uma boa prática simplificar a fração resultante, se possível. Para simplificar, divida o numerador e o denominador pelo seu máximo divisor comum (MDC).

Exemplo:

Calculando o valor da expressão:

• O MMC de 4, 6 e 12 que é 12.

Simplificando o resultado:

Exercícios

1 – O valor de

corresponde a:

Resolução:

Simplificando o resultado:

2 – Qual é o valor da expressão abaixo?

 

Resolução:

Calculando o mínimo múltiplo comum dos números 2, 3 e 4:

Escrevendo as frações com denominadores 12:

Fórmula de Heron

A fórmula de Heron é uma ferramenta matemática útil para encontrar a área de um triângulo quando se conhecem os comprimentos de todos os seus lados. Ao contrário das fórmulas que requerem a altura ou um ângulo específico, a fórmula de Heron utiliza apenas os três lados do triângulo.

A fórmula de Heron afirma que a área de um triângulo com lados a, b e c é dada por:

Onde p é o semiperímetro do triângulo, definido como:

Exercícios

1 – Qual é a área do triângulo abaixo?

Resolução:

• Fazendo:

a = 10 cm

b = 17 cm

c = 21 cm

• Usando a fórmula de Heron:

• Reordenando os números:

2 – Determine a área do triângulo isósceles da figura.

Resolução:

• Fazendo:

a = 10 cm

b = 10 cm

c = 12 cm

• Usando a fórmula de Heron:

3 – Qual é a área do triângulo da figura?

Resolução:

• Fazendo:

a = 5 cm

b = 6 cm

c = 7 cm

• Usando a fórmula de Heron:

ou

Como:

4 – Qual é a área do triângulo abaixo?

Resolução:

• Fazendo:

a = 20 mm

b = 40 mm

c = 50 mm

• Usando a fórmula de Heron:

• Reordenando os números:

Como:

5 – Qual é a área do triângulo abaixo?

Resolução:

• Fazendo:

a = 9 cm

b = 10 cm

c = 11 cm

• Usando a fórmula de Heron:

6 – Calcular a área de um terreno na forma triangular, conforme a figura, usando a fórmula de Heron.

Resolução:

• Fazendo:

a = 78 m

b = 84 m

c = 90 m

• Usando a fórmula de Heron:

Onde p é o semiperímetro do triângulo:

• Fatorando os números 126, 48 e 42:

• Reordenando os números: