Sistemas de equações: Método da substituição

No método da substituição, escolhemos uma das incógnitas e a isolamos, e substituímos na outra equação.

Exercícios:

1 - Vamos resolver o sistema de equações abaixo:

Resolução:

Primeiramente vamos chamar as equações de (1) e (2):

Isolando x em (1):

x = 42 – y

Substituindo o valor de x em (2): 

x – y = 8

42 – y – y = 8

42 – 2y = 8

– 2y = 8 – 42

– 2y = – 34

y = 17

Substituindo o valor de y em (1):

x + y = 42

x + 17 = 42

x  = 42 – 17

x = 25

Solução: x = 25   e  y = 17

2 - No sistema

o valor de x é:

a) igual a zero

b) igual a um

c) o dobro de y

d) o triplo de y

Resolução:

Isolando x em (1):

Substituindo o valor de x em (2)

-2y = 10 -20

-2y = - 10

y = - 10:(- 2)

y = 5

Substituindo o valor de y em (3):

Resposta: (d) o triplo de y.

3 - Vamos resolver o sistema de equações abaixo:

Fazendo c = 7 em m + c = 20:

m + 7 = 20

m = 20 – 7

m = 13

Solução do sistema é: c = 7 e m = 13

4 - Usando o método da substituição, resolva o sistema de equações:

Resolução:

Substituindo (2) em (1): 

Substituindo y em (2):

Solução: x = 14,4 e y = 7,2.

5 - Resolva o sistema de equações 3x + 4y = 10 e 2x + 3y = 7.

Resolução:

Isolando x em (1):

Substituindo x em (2):

Multiplicando todos os termos da equação por 3:

Substituindo o valor de y em (3):

Solução: x = 2 e y = 1.

6 - Determine os valores de x e y, no sistema abaixo:

Resolução: 

Isolando x em (1):

Substituindo o valor de x em (2):

Substituindo o valor de y em (3):

Solução: x = 1 e y = - 4 

7 - Determine o a solução do sistema de equações: 

Resolução:

Isolando y na equação (1):

Substituindo (3) em (2):

Substituindo x = 9 em (3):

Solução: x = 9 e y = 11.

8 - Qual é a solução do sistema de equações:

Resolução:

Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição:

Isolando x em (1):

x = 14 – y  (3)

Substituindo o valor de x em (2):

Substituindo o valor de y em (3):

Solução: x = 4 e y = 10. 

9 - Resolver o sistema de equações:

Resolução:

Isolando x na equação (1):

Substituindo (3) em (2):

Substituindo o valor de y em (1):

Resposta: x = 4 e y = – 2

10 - Se a + b = 15, b + c = 12 e 2a = 20, então, qual é o valor (a + b)⋅c vale:

a) 110                b) 105                c) 95                d) 93

Resolução:

Substituindo o valor de “a” em:

a + b = 15

10 + b = 15

b = 15 - 10

b = 5

Substituindo o valor de “b” em:

b + c = 12

5 + c = 12

c = 12 – 5

c = 7

Substituindo o valor de “a”, “b” e “c” em:

(a + b)⋅c

(10 + 5)⋅7

15⋅7=105

Função crescente e função decrescente

Dizemos que uma função é crescente quando ela apresenta maiores valores para y = f(x), quando também aumentamos os valores de x. Enquanto isso, classificamos uma função como decrescente quando, para maiores valores de x, obtemos menores valores para y = f(x).

Veja, abaixo, um exemplo de função crescente:

 

Enquanto isso, classificamos uma função como decrescente quando, para maiores valores de x, obtemos menores valores para y = f(x). Abaixo, veja um exemplo de função decrescente:

O que determina se uma função de 1º grau é crescente ou decrescente é o seu coeficiente angular “a”. Dada lei de formação f(x) = ax + b, se:

a > 0: função crescente;

a < 0: função decrescente.

Para melhor compreender essas definições, veja alguns exemplos. Observe:

Função crescente

Um exemplo de função crescente é a função y = 2x – 1. 

Para perceber isso, observe a tabela a seguir:

x	y
0	– 1
1	1
2	3
3	5
4	7

Observe que o valor de x, a cada linha, é aumentado em uma unidade. Consequentemente, realizando-se os cálculos de y a partir da função dada, percebemos que, a cada linha, o valor dessa variável aumenta em quatro unidades.

Função decrescente

Uma função decrescente é aquela em que o valor da variável y diminui sempre que a variável x aumenta. Um exemplo de função decrescente é a seguinte: y = – 2x + 9. Para perceber isso, observe a tabela a seguir:

x	y
0	9
1	7
2	5
3	3
4	1

Observe que, cada vez que o valor de x aumenta uma unidade, o valor de y diminui três unidades. Dessa maneira, essa função é decrescente.

Exercícios

1 - Indique se a função abaixo é crescente ou decrescente:

A função cuja lei de formação é y = – 3x + 4.

 a) Crescente

b) Decrescente

Resposta: Como a = – 3 e – 3 < 0, a função decrescente.

2 - Indique se a função abaixo é crescente ou decrescente:

A função cuja lei de formação é y = 2x + 5.

a) Crescente

b) Decrescente

Resposta: Como a = 2 e 2  > 0, a função crescente.

3 - A função representada no gráfico abaixo é crescente ou decrescente:

A alternativa correta é:

a) Crescente

b) Decrescente

Resposta: Aumentado valores de x, obtemos maiores valores para y = f(x). (Crescente)

4 - A função representada no gráfico abaixo é crescente ou decrescente:

A alternativa correta é:

a) Crescente

b) Decrescente

Resposta: Aumentado valores de x, obtemos menores valores para y = f(x). (Decrescente)

Exercícios com equações biquadradas

Equação biquadrada é toda equação do 4º grau que pode ser reduzida em equação quadrática.

Equação biquadrada:

ax⁴ + bx²  + c = 0

Fazendo: x⁴  = (x²)².

a(x²)² + bx² + c = 0

Transformando: x² = y

Equação quadrática

Exercícios:

1 - Resolver a equação biquadrada x⁴ – 5x²  + 4 = 0, sendo U = IR:

Resolução:

Transformando em equação do 2º grau:

x⁴ – 5x²  + 4 = 0

Fazendo: x² = y

Como x² = y

Solução:

x = 1, x = – 1, x = 2 e x = – 2

2 - Resolver a equação biquadrada x⁴ + 2x²  – 3 = 0, sendo U = IR:

Resolução:

Transformando em equação do 2º grau:

x⁴ +  2x²  – 3 = 0

Fazendo: x² = y

Solução: x = 1 e x = – 1

3 - Resolver a equação biquadrada x⁴ + 4x²  – 12 = 0, sendo U = IR.

Resolução:

Transformando em equação do 2º grau:

x⁴ + 4x²  – 12 = 0

Fazendo: x² = y

Solução:

4 - Resolver a equação biquadrada x⁴ = x² + 1, sendo U = IR.

Resolução:

Fazendo x² = y:

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação do 2º grau: 

Como 1–< 0:

Solução:

ou

5 - Resolva a equação biquadrada x⁴ – 100x² + 2304 = 0.

Resolução:

Transformando essa em equação do 2º grau:

Fazendo:

Como:

Resposta: x = 6, x = – 6, x = 8 ou x = – 8.