Função exponencial

Uma função exponencial é uma função matemática da forma f(x) = a⋅b^x, onde:

• a é uma constante diferente de zero,
• b é a base (um número real positivo diferente de 1),
• x é o expoente (a variável independente).

Características Principais:

1. Crescimento Rápido: As funções exponenciais crescem (ou decrescem) muito mais rápido que as funções lineares ou polinomiais.
2. Domínio e Imagem:
• O domínio da função exponencial é todos os números reais ℝ.
• A imagem (ou contradomínio) é o conjunto dos números reais positivos (0, ∞) quando a base b é maior que 1, e (0, ∞) quando 0 < b < 1.
3. Assíntota Horizontal: A reta y = 0 (o eixo x) é uma assíntota horizontal para a função exponencial, indicando que a função se aproxima de zero mas nunca o toca.
4. Passagem pela Origem: Para f(x) = b^x, a função passa pelo ponto (0, 1), porque qualquer número positivo elevado a zero é 1.

Exemplo Prático:

Imagine uma população de bactérias que dobra de quantidade a cada hora. Se começamos com 1 bactéria, após 1 hora teremos 2 bactérias, após 2 horas teremos 4, após 3 horas teremos 8, e assim por diante. Este é um exemplo clássico de crescimento exponencial, que pode ser modelado pela função f(x) = 2^x.  

      

Exercícios

1 - Observe o expoente e verifique quais das sentenças dadas correspondem à lei de uma função exponencial.

Resolução: 

• Apenas a opção (c) não corresponde à lei de uma função exponencial, pois a variável não está no expoente.

2 - Numa certa cultura de bactérias o número delas y cresce segundo a lei y = 20 ⋅ 3^x na qual x representa o tempo em horas. Após quantas horas o número de bactérias será 1620?

Resolução:

y = 20 ⋅ 3^x

• Fazendo y = 1620:

1620 = 20 ⋅ 3^x

81 = 3^x

3⋅3⋅3⋅3 = 3^x

3⁴ = 3^x

x = 4 horas

3 - (CONED – 2016 – Sesc – PA) Qual a soma das raízes ou zeros da função exponencial abaixo?  

f(x) = 2^2x-3 – 3⋅2^x-1 + 4
a) 5          b) 4          c) 6          d) 8          e) – 6

Resolução:

• Para encontrar as raízes ou zeros da função, vamos fazer f(x) = 0:

2^{2x - 3} – 3⋅2^{x -1} + 4 = 0

• Multiplicando por 8 ambos os membros da equação:

• Simplificando a equação:

 2^2x – 12⋅2^x + 32 = 0

• Trocando a ordem dos expoentes:

(2^x)² – 12⋅2^x + 32 = 0

Fazendo y = 2^x:

y² – 12y + 32 = 0

• Usando a fórmula de Bhaskara:

a = 1,      b = – 12    e   c = 32

• Como y = 2^x:

y₁ = 8

8 = 2^x    ⇒   2³ = 2^x    ∴   x = 3

ou

y₂ = 4

4 = 2^x    ⇒   2² = 2^x    ∴   x = 2

• Logo, a soma das raízes é 3 + 2 = 5

• Resposta: Letra A 

4 – Considere a função 

de lei f(x) = 2^x + 1. Determine:

a)) f(1)

b) f(– 3)

c) x quando f(x) = 17

Resolução:

a) f(x) = 2^x + 1

f(1) = 2¹ + 1 = 2 + 1 = 3

b) f(x) = 2^x + 1

f(– 3) = 2^–3 + 1

c) f(x) = 17

 f(x) = 2^x + 1

2^x + 1 = 17     ⇒     2^x = 17 – 1  ⇒    2^x = 16

2^x  =2⋅2⋅2⋅2   ⇒   2^x  = 2⁴   ∴    x = 4

5 – Determinar a lei de formação da função f(x) da figura.

          

Resolução:

• A curva intercepta o eixo y em 2.

• Para x = 1, y = 4.

• Escolhendo dois pontos do gráfico, temos (0,2) e (1,4).

• Em (0,2) temos x = 0 e y = 2:

y = a⋅b^x

2 = a⋅b⁰

2 = a⋅1   ⇒    a = 2

• Em (1, 4) temos x = 1 e y = 4:

y = a⋅b^x

4 = a⋅b¹

4 = a⋅b   ⇒    4 = a⋅2   ⇒   a = 2

• Substituindo a = 2 e b = 2, temos:

f(x) = 2⋅2^x

Divisão de polinômios

A divisão de polinômios é um conceito fundamental na álgebra que se assemelha bastante à divisão de números. Ela envolve dividir um polinômio (o dividendo) por outro (o divisor) para obter um quociente e, em alguns casos, um resto.

Imagine que você tem um polinômio P(x) e deseja dividi-lo por um outro polinômio D(x). O objetivo é encontrar dois polinômios: o quociente Q(x) e o resto R(x), de forma que a seguinte igualdade seja válida:

P(x) = Q(x)⋅D(x) + R(x)

Aqui estão algumas características importantes:

• O grau do resto R(x) deve ser menor que o grau do divisor D(x).
• Se o resto for zero, isso significa que D(x) é um divisor exato de P(x).

A divisão de polinômios pode ser feita por diferentes métodos, como o método de chaves, o método de Descartes e o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

O dispositivo prático de Briot-Ruffini é uma ferramenta mecânica usada para a realização de operações de divisão de polinômios, em particular, para encontrar o quociente e o resto de uma divisão de polinômios. Desenvolvido pelos matemáticos franceses Briot e Ruffini no século XIX, ele é uma versão prática do método algébrico que hoje é conhecido como o método de divisão sintética.

A principal aplicação desse dispositivo é facilitar a resolução de divisões de polinômios de maneira mais rápida e eficiente, sendo bastante útil no ensino de álgebra. O método permite que se dividam polinômios de forma simplificada, com uma redução do número de operações necessárias, evitando o uso de longas fórmulas e cálculos tradicionais.

Exemplo:

Vamos dividir polinômio P(x) = x³ − 3x² + 5x – 6 pelo divisor D(x) = x − 2.

Passos:

1. Divida o termo de maior grau de P(x) pelo termo de maior grau de D(x):

          

         Este é o primeiro termo do quociente. 

       2. Multiplique x² por D(x) e subtraia o resultado de P(x):

         (x³ − 3x² + 5x − 6) − (x³ − 2x²) = − x² + 5x – 6

      3. Agora, divida o termo de maior grau do novo polinômio pelo termo de maior grau de D(x):
 
          
         Este é o próximo termo do quociente.

 
     4. Multiplique − x por D(x) e subtraia:

         (− x² + 5x − 6) − (− x² + 2x) = 3x − 6

 
     5. Repita o processo:

          

Multiplicando e subtraindo:

(3x − 6) − (3x − 6) = 0

Resultado: O quociente é Q(x) = x² − x + 3 e o resto é R(x) = 0. Isso significa que P(x) é divisível por D(x) sem deixar resto.

Exercícios

1 - Qual é o resto da divisão do polinômio x³ – 6x² + 11x – 6 por x – 2?

Resolução:

Vamos usar o método das chaves:

          

Resposta: O resto da divisão é zero.

2 - (CPACN) Sejam as funções f e g, definidas por f(x) = x⁶ – 2x⁵ – x⁴ + 10x³ – 16x² – 8x + 16 e g(x) = x³ – x² – 4x + 4. A soma dos valores inteiros que satisfazem a desigualdade

é igual a:

a) – 2      b) – 1      c) 0      d) 1      e) 2

Resolução:

• Primeiramente, vamos calcular o quociente, lembrando da condição de existência:

g(x) ≠ 0

 x³ – x² – 4x + 4 ≠ 0

x²⋅(x – 1) – 4⋅(x – 1) ≠ 0

(x – 1)⋅(x² – 4) ≠ 0

x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1

e

x² – 4 ≠ 0   ⇒    x² ≠ 4      

x ≠ 2  e  x ≠ – 2

• Usando a fórmula de Bhaskara:

(Não inteiro)

ou

• Usando a fórmula de Bhaskara:

(Não inteiro)

• Soma: S = – 1 + 0 = – 1

• Resposta: Letra B

Equações literais do 2º grau

As equações literais do 2º grau são aquelas que contêm coeficientes literais, ou seja, letras que representam números desconhecidos ou variáveis. Essas equações podem ser expressas da forma geral ax² + bx + c = 0, onde:

• a, b e c são coeficientes literais ou constantes;
• x é a variável ou incógnita que queremos determinar.

Para resolver uma equação literal do 2º grau, podemos seguir os seguintes passos:

1. Verifique se a equação está na forma padrão: Certifique-se de que a equação esteja organizada na forma ax² + bx + c = 0.
2. Identifique os coeficientes: Anote os valores de a, b e c.
3. Calcule o discriminante (Δ): O discriminante é dado por Δ = b² – 4ac. Ele nos ajuda a determinar o número e a natureza das raízes da equação.
• Se Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e distintas.
• Se Δ = 0, a equação tem uma raiz real dupla (ou duas raízes iguais).
• Se Δ < 0, a equação tem duas raízes complexas conjugadas.
4. Calcule as raízes: Usando a fórmula de Bhaskara, podemos encontrar as raízes da equação:

                  

Exemplos 

1 - Suponha que temos a equação 3x² + 5x + k = 0. Queremos encontrar k de tal forma que a equação tenha apenas uma raiz real. Para isso, precisamos que Δ = 0:

a = 3,     b = 5   e    c = k
Δ = b² − 4ac = 5² − 4⋅3⋅k
Para Δ = 0, temos:

          25 −12k = 0

          25 = 12k

         

Portanto, para que a equação tenha uma única raiz real, k deve ser igual a 12/25.

2 - Resolva a equação literal 5x² – 80a² = 0, sendo x a incógnita.

5x² – 80a² = 0  ⇒ 5x² = 80a² 

Solução: {– 4a; 4a}

3 – Para que valores de k a equação literal 2x² + 4x + 5k = 0, admita raízes reais e diferentes?

a = 2,     b = 4     e      c = 5k

Δ = b² – 4ac

Δ = 4² – 4⋅2⋅5k

Δ = 4⋅4 – 8⋅5k

Δ = 16 – 40k

Para isso, precisamos que Δ > 0:

16 – 40k > 0 ⇒ – 40k > –16

Multiplicando todos os membros dessa desigualdade por (– 1):

– 40k > –16 ⋅ (– 1)

40k < 16

 
Exercícios

1 – Resolva a equação literal 4x² – 100m² = 0, sendo x a incógnita.

Resolução:

4x² – 100m² = 0

Solução: {– 5m; 5m}

2 – Resolva a equação literal 8x² – 3ax = 0, sendo x a incógnita.

Resolução:

8x² – 3ax = 0

Colocando x em evidência:

x⋅(8x – 3a ) = 0

 x = 0

ou

8x – 3a = 0   ⇒ 8x = 3a

Solução:

3 – Resolva a equação literal x² – 3mx + 2m²  = 0, sendo x a incógnita.

Resolução:
x² – 3mx + 2m²  = 0

a = 1,     b = – 3m     e      c = 2m²

Δ = b² – 4ac

Δ = (– 3m)² – 4⋅1⋅2m²

Δ = 9m² – 8m²

Δ = m²

Solução: {2m; m}

4 – Para que valores de k a equação literal x² – 2x + k – 2 = 0, admita raízes reais e iguais?

Resolução:

x² – 2x + k – 2 = 0

a = 1,     b = – 2     e      c = k – 2

Δ = b² – 4ac

Δ = (– 2)² – 4⋅1⋅(k – 2)

Δ = (– 2)⋅(– 2) – 4⋅(k – 2)

Δ = 4 – 4k + 8

Δ = 12 – 4k

Para isso, precisamos que Δ = 0:

12 – 4k = 0 ⇒ – 4k = – 12

5 – Resolva a equação literal x² – (a – b)x – ab  = 0, na variável x.

Resolução:

x² – (a – b)x – ab  = 0

a = 1,     b = – (a – b)     e      c = – ab

Δ = b² – 4ac

Δ = (– a + b)² – 4⋅1⋅(– ab)

Δ = a² – 2ab + b² + 4ab

Δ = a² + 2ab + b²

Δ = (a + b)²

Solução: {0;  a + b}

6 – Resolva a equação literal x² – 3ax + 2a² = 0 (a > 0).

Resolução:

a = 1,     b = – 3a     e      c = 2a²

Δ = b² – 4ac

Δ = (– 3a)² – 4⋅1⋅2a²

Δ = 9a² – 8a²

Δ = a²

Solução: {x₁ = 2a   e  x₂ = a}

Solução: {x₁ = 2a   e  x₂ = a}

7 – Para que valores de k a equação literal 9x² + 12x + 2m = 0, não admita raízes reais?

Resolução:

9x² + 12x + 2m = 0

a = 9,     b = 12     e      c = 2m

Δ = b² – 4ac

Δ = 12² – 4⋅9⋅2m

Δ = 12⋅12 – 36⋅2m

Δ = 144 – 72m

Para isso, precisamos que Δ < 0:

144 – 72m < 0 ⇒ – 72m < –144

Multiplicando todos os membros dessa desigualdade por (– 1):

– 72m < –144   ⋅ (– 1)

72m > 144   

8 – Resolva a equação literal (x – k)² + (x + k)² = 6k², sendo x a incógnita.

(x – k)² + (x + k)² = 6k²

x² – 2kx + k² + x² + 2kx + k² = 6k²

2x² + 2k² – 6k² = 0

2x² – 4k² = 0

Dividindo ambos os membros dessa equação por 2:

2x²:2 – 4k²:2 = 0  ⇒  x² – 2k² = 0

x² = 2k²

Solução: