Equações do 2º grau

Uma equação que pode  ser escrita na forma reduzida  ax² + bx + c = 0 é chamada de equação do 2° grau.

Onde x é a incógnita, e as letras a, b e c são números reais chamadas de coeficientes, com a ≠ 0. 

Sendo os coeficientes "b" e "c" nulos (iguais a zero), a equação é incompleta. 

Se b = 0:  ax² + c = 0
Se c = 0:  ax² + bx = 0

As equações do 2° grau podem ter até duas soluções, que são chamados de raízes da equação. Para resolvermos equações do 2° grau, podemos usar a fórmula de Bhaskara:

                  

Dependendo do valor do discriminante Δ (delta), a equação pode ter duas raízes reais e distintas, uma raiz real dupla, ou duas raízes complexas:

Δ = b² – 4⋅a⋅c

Δ > 0   (duas raízes reais e distintas)

Δ = 0   (uma raiz real dupla)

Δ < 0    (Não tem raízes reais: duas raízes complexas)

De forma simplificada, podemos escrever a fórmula de Bhaskara:

                  

Forma fatorada da equação da equação do 2º grau

ax² + bx + c = 0   ou   a⋅(x – x₁)⋅(x – x₂) = 0

Onde x₁ e x₂ são raízes da equação.

 e

Exemplos

1 - Qual é a equação do 2º grau que tem raízes – 3 e 2 com o coeficiente a igual a 5?

Resolução:

a⋅(x – x₁)⋅(x – x₂) = 0
5⋅(x – (– 3))⋅( x – 2) = 0
5⋅(x + 3)⋅( x – 2) = 0
5⋅(x² – 2x + 3x – 6) = 0
5⋅(x² + x – 6) = 0
5x² + 5x – 30 = 0  :(5)
x² + x – 6 = 0  

2 – Simplifique a expressão:

Resolução:

3 – O valor do produto das raízes da equação 4x² + 8x – 12 = 0 é:

a) – 12
b) 8
c) 2
d) – 3
e) não existe

Resolução:

a = 4, b = 8 e c = – 12

4 – Resolva a equação (x + 9)² = 49.

Resolução:

 (x + 9)² = 49

x + 9 = 7  ⇒  x = 7 – 9  ∴   x = – 2
ou
x + 9 = – 7 ⇒ x = – 7 – 9  ∴  x = – 16
Solução: {– 16, – 2}

Exercícios

1 – Resolva as seguintes equações do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara:

a) x² + 3x – 4 = 0     

b) 2x² – 8x = 0

c) x² – 3x + 15 = 0

2 - Resolva a equação de 2º grau x² + 2x – 15 = 0.

3 - Resolva a equação de 2º grau x² + 10x + 25 = 0 .

4 - Resolva as equações de 2º grau:

a) x² – 10x + 9 = 0

b) x² + x – 6 = 0
c) x² + 4x – 5 = 0
d) x² – 10x + 24 = 0
e) 2x² – 9x + 4 = 0
f) x² + 8x + 16 = 0

5 – Resolva a equação do 2º grau x² –  100x + 2304 = 0.

6 – Resolva a equação do 2º grau x² + 32x = 900.

7 – Resolva a equação do 2º grau x² – 37x + 300 = 0.

8 – Na equação do 2º grau 2x² – 5x – 1 = 0, de raízes x₁ e x₂, calcule:

9 – Usando a fórmula de Bhaskara 

resolva a equação do 2º grau x² – 9x + 8 = 0. 

10 – Dada a equação do 2º grau x² + 11x + 30 = 0, determine os valores de x da equação.

11 – Se (ax + 2) ⋅ (bx + 3) = 14x² + cx + 6, para todos os valores de x e a + b = 9, quais são os dois possíveis valores de c?

a) 2 e 7     b) 4 e 14     c) 6 e 21     d) 20 e 25

Respostas:

1 - a) x² + 3x – 4 = 0     

a = 1,   b = 3   e   c = – 4. 

Calculando o valor do discriminante Δ(Delta):

Δ = b² – 4⋅a⋅c

Δ = 3² – 4⋅1⋅(– 4)

Δ = 9 + 16

Δ = 25

Como Δ > 0, a equação terá duas raízes. Substituindo o valor de Δ por 25:

x = – 3 ± √25 

          2⋅1

x = – 3 ± 5

           2

Podemos ter dois resultados:

x = – 3 + 5 = 2 = 1

            2       2

e

x = – 3 – 5 = – 8 = – 4

            2          2

Soluções da equação: x = 1 e x = – 4.

b) 2x² – 8x = 0

a = 2,  b = – 8 e c = 0

Δ = b² – 4⋅a⋅c

Δ = (– 8)² – 4⋅2⋅0

Δ = 64 – 0

Δ = 64

Como Δ > 0, a equação terá duas raízes.

           

x = 8 ± 8

         4

x = 8 + 8 = 16  = 4

         4         4

e
x = 8 – 8 =  0  = 0

          4        4

Soluções: x = 0 e x = 4.

c) x² – 3x + 15 = 0

a = 1, b = – 3 e c = 15. 

Δ = b² – 4⋅a⋅c

Δ = (– 3)² – 4⋅1⋅15

Δ= (– 3)⋅ (– 3) – 60

Δ = 9 – 60

Δ = – 51

Como Δ < 0, a equação não possui raízes reais.

Solução: ⲫ

2 - Resolução:

a = 1, b = 2 e c = – 15

Solução: x = 3 ou x = – 4

3 - Resolução:

a = 1,      b = 10     e     c = 25

Solução: x = – 5

4 - Resolução:

Solução: x = 1   e    x = 9

Solução: x = - 3 e x = 2

Solução: x = - 5 e x = 1

Solução: x = - 2 e x = 12

Solução: x = – 4

5 - Resolução:

Solução: x = 36 ou x = 64

6 - Resolução:

Solução: x = 18 ou x = – 50

7 - Resolução:

8 - Resolução:

Primeiramente vamos calcular as raízes da equação 2x² – 5x – 1 = 0, usando a fórmula de Bhaskara:

9 – Resolução:

x² – 9x + 8 = 0

a = 1,   b = – 9   e   c = 8

10 – Resolução:

x² + 11x + 30 = 0

a = 1,    b = 11    e    c = 30

11 – Resolução:

(ax + 2) ⋅ (bx + 3) = 14x² + cx + 6

abx² + 3ax + 2bx + 6 = 14x² + cx + 6

abx² + (3a + 2b)x + 6 = 14x² + cx + 6

Comparando as igualdades:

ab = 14      (1)

3a + 2b = c    (2)

a + b = 9  ⇒  a = 9 – b   (3)

Substituindo (3) em (1):

ab = 14

(9 – b) ⋅b = 14

9b – b² = 14

– b² + 9b – 14 = 0    x(– 1)

b² – 9b + 14 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara:

A = 1,            B = – 9       e       C = 14

Substituindo b em (1):

a = 9 – b    (3)

a₁ = 9 – 7 = 2

a₂ = 9 – 2 = 7

Substituindo a e b em (2):

3a + 2b = c   (2)

Substituindo b em (1):

3a + 2b = c

c₁ = 3⋅2 + 2⋅7 = 6 + 14 = 20

c₂ = 3⋅7 + 2⋅2 = 21 + 4 = 25

Resposta: Letra D

Expressão – Potência com expoente negativo

 1 - O valor da expressão

é:

a) 1                b) 2                 c) 6                  d) 2/8

Resolução: 

Vamos usar a expressão de potência com expoente negativo:

2 - Calculando o valor da potência  

     

Vamos ter:

a) 2

b) 0,5

c) -2

d) – 0,5

Resolução:

3 - Calculando o valor da potência de expoente negativo a seguir:

 vamos encontrar:

Resolução:

4 - Calcule o valor de cada potência:

Resolução:

Problemas com equação do 2º grau

1 - Quando eu nasci, meu pai tinha 32 anos. Hoje, o produto das nossas idades é 900. A soma das nossas idades atuais é igual a:

a) 72

b) 68

c) 64

d) 83

Resolução:

Nossas idades quando eu nasci:
Eu: 0
Meu pai: 32
Nossas idades atuais:
Eu: x
Meu pai: x + 32
Equação:     x ⋅ (x + 32) = 900

Então, nossas idades atuais são:

Eu: x = 18 anos

Meu pai: x + 32 = 18 + 32 = 50 anos

Soma das idades: 18 anos  + 50 anos = 68 anos

Resposta: A soma das nossas idades é de 68 anos.: 18 anos  + 50 anos = 68 anos

2 - Daqui a 24 anos minha idade será o quadrado da idade que eu tinha a 18 anos atrás. Qual é minha idade hoje?

a) 22 anos

b) 23 anos

c) 24 anos

d) 25 anos

Resolução:

Minha idade hoje: x

Minha daqui a 24 anos: x + 24

O quadrado da idade que eu tinha a 18 anos atrás:  (x – 18)²

Equação:

x + 24 = (x – 18)²

x + 24 = (x – 18)(x – 18)

x + 24 = x ⋅ x – x ⋅ 18 – 18 ⋅ x + 18 ⋅ 18

x + 24 = x² – 18x – 18x + 324

x + 24 = x² – 36x + 324

0 = x² – 36x – x + 324 – 24

Resposta: A  minha idade hoje é 25 anos.

3 - O triplo de um número positivo somado com seu quadrado é igual a 180. Qual é esse número?

a) 15          b) 14          c) 13          d) 12

Resolução:

3x + x² = 180

x² + 3x ー180 = 0

Resposta: a 

4 - A hipotenusa de um triângulo retângulo, representado abaixo, mede 10 m. A área desse triângulo é 24 m². Quais as medidas dos catetos desse triângulo?

Resolução:

Pelo teorema de Pitágoras temos:

a² = b² + c²

 10² = x² + y²

10 ⋅ 10 = x² + y²

x² + y² = 100

A área do triângulo é dada por:

 Agora vamos resolver o sistema de equações:

Isolando y em (1):

Substituindo (3) em (2):

x² + y² = 100

Fazendo:

Multiplicando toda equação por t:

Como:

e

Então, as medidas de um dos lados medem x = 6 m ou x = 8 m (As medidas dos lados não podem ser negativas).

Cálculo das medidas de y:

Para x = 6

Para x = 8

Resposta: As medidas dos catetos são: 6 m e 8 m.

Soma dos ângulos internos de um triângulo

 A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre 180°.

Exercícios resolvidos:

1 - Qual é a medida do ângulo interno no triângulo da figura abaixo?

Resolução: 

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

x + 30° + 70° = 180°

x + 100° = 180°

x = 180° ー 100°

x = 80°

2 - Calcule o valor de x no triângulo a seguir.

Resolução:

2x + 3x + 4x = 180°

9x = 180°

x = 180°/9

x = 20°

3 - Determine o valor de x no triângulo da figura.

Resolução:

x + 3x + 2x + 30° = 180°

6x + 30° = 180°

6x = 180° ー 30°

6x = 150°

 x = 25°

4 - Qual é o valor do ângulo x?

a) 20°        b) 30°         c) 40°         d) 50°

Resolução:

Os ângulos de 130° e "y" são suplementares (soma 180°):

130° + y = 180°

y = 180° ー130° 

y = 50°

Os ângulos "z" e 100° são opostos pelo vértice (Tem a mesma medida):

z = 100° 

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°:

x + y + z = 180°

x + 50° +100° = 180°

x + 150° = 180°

x  = 180° ー 150°

x = 30°